Το Θεώρημα Boviix: Η Μοναδική Παραγοντική Ταυτότητα 6!×7! = 10!

Θεώρημα Boviix

Μία εντυπωσιακή και μοναδική ταυτότητα παραγοντικών αριθμών:

$$6! \times 7! = 10!$$

Αυτή η σχέση είναι η μόνη γνωστή περίπτωση όπου το γινόμενο δύο διαδοχικών παραγοντικών ισούται με ένα μεγαλύτερο παραγοντικό.

---

🔹 Γενικός Ισχυρισμός

Εξετάζουμε την εξίσωση:

$$n! \cdot (n+1)! = (n+4)!$$

Θα δείξουμε ότι ισχύει μόνο για n = 6.

---

🔎 Απόδειξη

Αν ισχύει:

$$n! \cdot (n+1)! = (n+4)!$$

τότε:

$$n! \cdot (n+1)! = (n+1) \cdot n! \cdot (n+2)(n+3)(n+4)$$

Άρα η εξίσωση ισχύει όταν:

$$n! = (n+2)(n+3)(n+4)$$

Το δεξί μέρος είναι γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών, ενώ το αριστερό είναι παραγοντικός με πολύ ταχύτερη αύξηση.

Ελέγχουμε τιμές:

n	n!	(n+2)(n+3)(n+4)	Ισχύει;
4	24	6·7·8=336	❌
5	120	7·8·9=504	❌
6	720	8·9·10 = 720	✅
7	5040	9·10·11=990	❌

Άρα η μοναδική λύση είναι n = 6.

---

🎯 Συμπέρασμα

$$\boxed{{\displaystyle 6!\times 7!=10!}}$$

Η ταυτότητα αυτή είναι μοναδική και δεν επαναλαμβάνεται σε κανέναν άλλο φυσικό αριθμό.

---

🧠 Γιατί είναι ενδιαφέρον;

• Είναι μια σπάνια «συμπτωματική» ευθυγράμμιση ρυθμών ανάπτυξης.

• Αναδεικνύει πώς οι παραγοντικοί αριθμοί αυξάνονται εξαιρετικά γρήγορα.

• Το Θεώρημα Boviix αποτελεί όμορφο παράδειγμα αριθμητικής περιέργειας που δεν είναι τυχαία — αλλά μοναδικά δομημένη.

---

📌 Σύνοψη

$$6!\times 7!=10!=3,628,800$$

---

🔗 Δες χιλιάδες ακόμα μαθηματικές ιδέες στο EisatoponAI — Your Daily Experience of Math Adventures.
https://www.eisatopon.gr