Τελεσκοπικά Αθροίσματα και ένα Χαρακτηριστικό Παράδειγμα

Στα μαθηματικά, ονομάζουμε τελεσκοπικό άθροισμα ένα άθροισμα όπου οι περισσότεροι όροι απλοποιούνται μεταξύ τους και απομένουν μόνο οι πρώτοι και οι τελευταίοι.
Οι εκφράσεις αυτές έχουν τη μορφή:

$$\sum_{k=1}^{n} [f(k) - f(k+1)]$$

και απλοποιούνται ως:

$$f(1) - f(n+1).$$

🔍 Παράδειγμα

Να υπολογιστεί σε κλειστή μορφή το άθροισμα:

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!}.$$

Παρατηρούμε ότι:

$$\frac{k}{(k+1)!} = \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \frac{k+1}{(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}.$$

Άρα το άθροισμα γίνεται:

$$\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right) + \left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right).$$

Όλοι οι ενδιάμεσοι όροι απλοποιούνται και μένει:

$$1 - \frac{1}{(n+1)!}.$$

✅ Τελικό Αποτέλεσμα

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{(k+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!}}$$

🧠 Συμπέρασμα

Αυτό το παράδειγμα δείχνει τη δύναμη των τελεσκοπικών αθροισμάτων: ένα άθροισμα που φαίνεται περίπλοκο απλοποιείται σε δύο μόνο όρους.