Η Ταυτότητα του Lagrange και οι Εφαρμογές της στην Άθροιση Τετραγώνων

Η Ταυτότητα του Lagrange είναι μία από τις ομορφότερες σχέσεις στην Άλγεβρα. Παρά το ότι φαίνεται απλή, κρύβει μέσα της μια βαθιά ιδέα:
η γινόμενη μορφή δύο αθροισμάτων τετραγώνων παραμένει άθροισμα δύο τετραγώνων.

Η απλούστερη μορφή της είναι:

$$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.$$

Αυτή η ταυτότητα δεν είναι απλώς «ένα ωραίο τρικ», είναι εργαλείο, και μάλιστα ισχυρό:

• στην Θεωρία Αριθμών,

• στην Άλγεβρα,

• στην Ανάλυση,

• ακόμη και στη σύγχρονη βελτιστοποίηση.

---

1. Πρώτη Εφαρμογή: Γράφοντας $m^6 + n^6$ ως Άθροισμα Δύο Τετραγώνων

Ας θεωρήσουμε δύο θετικούς ακέραιους $m, n$.
Θέλουμε να εκφράσουμε το:

$$m^6 + n^6$$

ως άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων, διαφορετικών από $m^6$ και $n^6$.

Παρατηρούμε:

$$m^6 + n^6 = (m^3)^2 + (n^3)^2.$$

Όμως, αυτό είναι η «προφανής» λύση. Θέλουμε άλλο ζευγάρι τετραγώνων.

Γράφουμε:

$$m^6 + n^6 = (m^2+n^2)(m^4 - m^2n^2 + n^4).$$

Το δεύτερο γινόμενο μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων ως εξής:

• Θέτουμε $a = m$, $b = n$,

• $c = m^2 - n^2$, $d = mn$.

Τότε:

$$(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (m^3 - 2mn^2)^2 + (n^3 - 2m^2n)^2.$$

Άρα:

$$m^6+n^6=(m^3-2m{n}^2{)}^2+(n^3-2m^{2}n{)}^2\mathrm{.}$$

---

2. Δεύτερη Εφαρμογή: Κάθε Θετικό Πολυώνυμο είναι Άθροισμα Δύο Τετραγώνων

Έστω ότι ένα πολυώνυμο $P(x)$ έχει πραγματικούς συντελεστές και:

$$P(x) \ge 0 \quad \text{για κάθε πραγματικό } x.$$

Τότε μπορούμε να δείξουμε ότι υπάρχουν πολυώνυμα $Q_1(x),Q_2(x)\; \tau έ\tau o\iota \alpha \; ώ\sigma \tau \epsilon :$

$$P(x) = Q_1(x)^2 + Q_2(x)^2.$$

Πώς;

1. Ξέρουμε ότι κάθε τέτοιο πολυώνυμο γράφεται ως:

$$P(x) = c\prod_{k=1}^{n}(x^2 + p_k x + q_k)$$

με $c \ge 0$ και $p_k^2 \le 4q_k$.

2. Κάθε παράγοντας έχει τη μορφή:

$$x^2 + p_kx + q_k = \left(x + \frac{p_k}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{4q_k - p_k^2}}{2}\right)^2.$$

Δηλαδή είναι άθροισμα δύο τετραγώνων.

3. Παίρνουμε το γινόμενο όλων αυτών των εκφράσεων.

4. Και εδώ εμφανίζεται ξανά η ταυτότητα του Lagrange:

$$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2.$$

Επαναλαμβάνοντας την n φορές, καταλήγουμε στο:

$$P(x) = Q_1(x)^2 + Q_2(x)^2.$$

Τι μας διδάσκει αυτό;

• Ότι η δομή των μαθηματικών είναι βαθιά εσωτερικά συνεκτική.

• Ότι κάτι απλό μπορεί να έχει μεγάλη ισχύ.

• Ότι η κατανόηση «μικρών» ταυτοτήτων ανοίγει δρόμο για «μεγάλες» θεωρίες.

Η Ταυτότητα του Lagrange είναι μια γέφυρα:

Παλιό	→	Νέο
Απλές αλγεβρικές ταυτότητες	→	Θεωρία αθροισμάτων τετραγώνων
Ακέραιοι	→	Πολυώνυμα
Κλασική Άλγεβρα	→	Σύγχρονη Ανάλυση & Βελτιστοποίηση