A Recurrence Sequence with a Perfect Square Identity

Πάντα τέλειο τετράγωνο;

Έστω ότι η ακολουθία \((f_n)\) ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο:

\(f_n = -f_{n-1} - 2f_{n-2}, \quad \text{με } f_1 = 1,\; f_2 = -1.\)

Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο \(n \ge 2\) ο αριθμός

\(2^{\,n+1} - 7 f_{n-1}^{\,2}\)

είναι πάντα ένα τέλειο τετράγωνο.

(Πηγή: American Mathematical Monthly, 1973)

Always a Perfect Square?

Let \((f_n)\) be the sequence defined recursively by

\(f_n = -f_{n-1} - 2f_{n-2}, \quad \text{with } f_1 = 1,\; f_2 = -1.\)

Prove that, for every integer \(n \ge 2\), the number

\(2^{\,n+1} - 7 f_{n-1}^{\,2}\)

is always a perfect square.

(Source: American Mathematical Monthly, 1973, E2367)