Σε ένα ερημονήσι βρίσκονται πέντε ερημίτες, μία μαϊμού και ένας σωρός από καρύδες.
Κατά τη διάρκεια της νύχτας, ο πρώτος ερημίτης ξυπνά, πηγαίνει στον σωρό, δίνει μία καρύδα στη μαϊμού, και από όσες απομένουν παίρνει το 1/5 για τον εαυτό του και το κρύβει. Έπειτα γυρίζει και κοιμάται.
Λίγο αργότερα ξυπνά ο δεύτερος ερημίτης και κάνει ακριβώς τα ίδια:
δίνει μία καρύδα στη μαϊμού, παίρνει και κρύβει το 1/5 όσων απομένουν και ξανακοιμάται.
Το ίδιο πραγματοποιούν όλοι οι ερημίτες, ένας-ένας, με την ίδια σειρά.
Το επόμενο πρωί, οι πέντε ερημίτες ξυπνούν και μοιράζονται ισόποσα τις καρύδες που έχουν απομείνει.
-
Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αρχικός αριθμός καρυδών που θα μπορούσε να είχε ο σωρός;
-
Αν μετά την τελική μοιρασιά το πρωί περισσέψει μία καρύδα για τη μαϊμού, ποιος είναι τότε ο μικρότερος δυνατός αρχικός αριθμός;
1 σχόλιο:
Μέρος 1: Ο μικρότερος δυνατός αρχικός αριθμός καρύδων
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω Ν ο αρχικός αριθμός των καρύδων.
• Αφού ο πρώτος ερημίτης πάρει το μερίδιό του, οι υπόλοιπες καρύδες πρέπει να είναι:
Ν-1=5κ1 === Ν+4=5κ1
• Αφού ο δεύτερος ερημίτης πάρει το μερίδιό του, οι υπόλοιπες καρύδες πρέπει να είναι:
κ1-1=5κ2 === κ1+4=5κ2
• Αφού ο τρίτος ερημίτης πάρει το μερίδιό του, οι υπόλοιπες καρύδες πρέπει να είναι:
κ2-1=5κ3 === κ2+4=5κ3
• Αφού ο τέταρτος ερημίτης πάρει το μερίδιό του, οι υπόλοιπες καρύδες πρέπει να είναι:
κ3-1=5κ3 === κ3+4=5κ4
• Αφού ο πέμπτος ερημίτης πάρει το μερίδιό του, οι υπόλοιπες καρύδες πρέπει να είναι:
κ4-1=5κ4 === κ4+4=5κ5
Έστω ο τελικός αριθμός καρύδων να είναι Κ, οπότε έχουμε την εξίσωση:
Ν+4=5^5*(Κ+4) (1)
Πρέπει να βρούμε τον μικρότερο ακέραιο αριθμό 𝑁 που ικανοποιεί αυτήν την εξίσωση με Κ+4>=0.
Η μικρότερη δυνατή τιμή για το (Κ+4) είναι ο αριθμός 1, οπότε έχουμε:
Κ+4=1 === Κ=1-4 === Κ= -3, κάτι που δεν είναι δυνατόν.
Η μικρότερη δυνατή τιμή για το (Κ+4) είναι ο αριθμός 5, οπότε έχουμε:
Κ+4=5 === Κ=5-4 === Κ= 1, κάτι που δεν είναι δυνατόν.
Η μικρότερη δυνατή τιμή για το (Κ+4) είναι ο αριθμός 5^5, οπότε έχουμε:
Κ+4=5^5 === Κ=5^5-4 === Κ=3.125-4 === Κ=3.121
Οπότε έχουμε:
Ν+4=5*5^5 === Ν+4=5*3.125 === Ν+4=15.625 ===
Ν=15.625-4 === Ν=15.621 ο μικρότερος δυνατός αρχικός αριθμός καρύδων
Μέρος 2: Ο μικρότερος δυνατός αρχικός αριθμός καρύδων με μία καρύδα να απομένει για τον πίθηκο
Αυτή είναι μια παραλλαγή του τυπικού προβλήματος. Εδώ, περισσεύει μία καρύδα για τη μαϊμού στο τέλος κάθε νύχτας.
Ο αρχικός αριθμός καρύδων πρέπει να είναι:
Ν+4=5^5*(Κ+4)
όπου Κ+4=1
Οπότε έχουμε:
Ν+4=5^5*(Κ+4) === Ν+4=5^5*1 === Ν=5^5-4 === Ν=3,125-4 ===
Ν=3,121 ο μικρότερος αρχικός αριθμός καρύδων
Αν στο τέλος περισσέψει μία καρύδα για τη μαϊμού, τότε έχουμε μία τελευταία καρύδα για τη μαϊμού.
Ο μικρότερος αρχικός αριθμός καρύδων είναι επομένως είναι:
Ν=3,121+4 === Ν=3.125
Και μετά μας περισσεύει μια καρύδα.