Μπορούν και οι 60 παπαγάλοι να βρεθούν στο ίδιο δέντρο;
Σε έναν κυκλικό οπωρώνα υπάρχουν 60 δέντρα φυτεμένα σε κύκλο, και σε κάθε δέντρο κάθεται ακριβώς ένας παπαγάλος.
Κατά διαστήματα συμβαίνει το εξής: από κάποιο δέντρο, δύο παπαγάλοι πετούν ταυτόχρονα προς τα γειτονικά δέντρα σε αντίθετες κατευθύνσεις:
- ο ένας προς το δεξιό / ωρολογιακά γειτονικό δέντρο,
- ο άλλος προς το αριστερό / αντιωρολογιακά γειτονικό δέντρο.
Έτσι, μετά από μία τέτοια κίνηση, το αρχικό δέντρο χάνει δύο πουλιά, ενώ τα δύο γειτονικά αποκτούν από ένα επιπλέον.
Ερώτηση:
Υπάρχει κάποια ακολουθία τέτοιων κινήσεων ώστε, σε κάποια χρονική στιγμή,
και οι 60 παπαγάλοι να βρεθούν πάνω στο ίδιο δέντρο;
2 σχόλια:
Όχι — δεν υπάρχει τέτοια ακολουθία κινήσεων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑριθμούμε τα δέντρα 0,1,2,…,59 γύρω από τον κύκλο. Έστω an ο αριθμός παπαγάλων στο δέντρο n. Tο άθροισμα θέσεων ισούται με: Σ=n*(n-1)/2
Αν γίνει κίνηση στο δέντρο k, τότε το ak μειώνεται κατά 2 και τα ak−1, ak+1 αυξάνονται από +1 το κάθε ένα, οπότε η μεταβολή του Σ είναι:
ΔΣ=−2k+(k−1)+(k+1)=0
Άρα το Σ είναι αδρανές (παραμένει σταθερό) για κάθε επιτρεπτή κίνηση.
Στην αρχική κατάσταση an=1, για κάθε n, οπότε έχουμε:
Σ=n*(n-1)/2 === Σ=60*(60-1)/2 === Σ=(60*59) === Σ=1.770
Αν ποτέ όλα τα 60 πουλιά βρεθούν στο ίδιο δέντρο t, τότε το Σ θα είναι: Στελικό=60t .
Θα έπρεπε λοιπόν:
1770=60t === t=1770/60=29.50, που δεν είναι ακέραιος — άτοπο.
Άρα, λόγω του αδρανούς Σ δεν μπορεί ποτέ να συγκεντρωθούν και οι 60 παπαγάλοι σε ένα δέντρο.
Κατάλαβε κανείς? Αν ναι, ας εκλαικεύσει, ας είναι κι ο λύτης..
Διαγραφή