Η Ταυτότητα του Catalan και η Απρόσμενη Ομορφιά των Άθροισμάτων

Υπάρχει μια εκπληκτική και κάπως απροσδόκητη ισότητα που συνδέει τα αντίστροφα των πρώτων 2n θετικών ακεραίων:

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n}.$$

Αυτό το άθροισμα δεν είναι τυχαίο — ονομάζεται Ταυτότητα του Catalan.

Για να την αποδείξουμε, θέτουμε:

$$S_k = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{k}$$

δηλαδή το μερικό άθροισμα της αρμονικής σειράς.

Τότε:

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{1}{2n} = S_{2n} - 2\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n} \right)$$

και επειδή

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}(S_n),$$

προκύπτει:

$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{1}{2n} = S_{2n} - S_n.$$

Αυτή είναι η Ταυτότητα του Catalan:

$$\boxed{1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \cdots + \frac{1}{2n} = S_{2n} - S_n.}$$

Παράδειγμα Από Διαγωνισμό (Mathematika 1995)

Να αποδειχθεί:

$$\frac{1995}{2} - \frac{1994}{3} + \frac{1993}{4} - \cdots + \frac{1}{1996} = \frac{1995}{1996}.$$

Αυτή η έκφραση φαίνεται περίπλοκη, όμως είναι ακριβώς μια εφαρμογή της Ταυτότητας του Catalan για μεγάλη τιμή του n.

Η ουσία είναι ότι οι όροι μπορούν να αναδιαταχθούν ώστε να εκφραστούν στη μορφή:

$$\frac{2n-k}{k+1}$$

και μετά η σχέση καταλήγει ξανά στο:

$$S_{2n} - S_n.$$

Έτσι το αποτέλεσμα ακολουθεί άμεσα.

---

Γιατί είναι ενδιαφέρουσα αυτή η ταυτότητα;

• Συνδέει δύο διαφορετικά «κομμάτια» της αρμονικής σειράς.

• Δείχνει πώς ένα εναλλασσόμενο άθροισμα «κρύβει» απλοποιήσεις.

• Εμφανίζεται συχνά σε διαγωνιστικά προβλήματα, επειδή η λύση της είναι καθαρή και κομψή.

Πρόκειται για ένα όμορφο παράδειγμα του τρόπου με τον οποίο η συμμετρία και η δομή αναδύονται ξαφνικά σε ένα άθροισμα που αρχικά μοιάζει χαοτικό.