Η Μέθοδος της Κάλυψης (Cover-Up Rule) στα Μερικά Κλάσματα — Ένας Γρήγορος Τρόπος για Μαθητές

Η Μέθοδος της Κάλυψης για Μερικά Κλάσματα – Ένας Απλός Οδηγός

❓ Τι είναι η Μέθοδος της Κάλυψης;

Η Μέθοδος της Κάλυψης (Cover-Up Rule) είναι ένας γρήγορος και εύκολος τρόπος για να βρούμε τους σταθερούς αριθμητές σε μια αποσύνθεση μερικών κλασμάτων, όταν ο παρονομαστής αποτελείται από διαφορετικούς γραμμικούς παράγοντες πρώτου βαθμού.

---

⚙️ Πώς λειτουργεί;

Έστω ρητή συνάρτηση της μορφής

\[ \frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)} \]

και θέλουμε να τη γράψουμε ως άθροισμα απλών κλασμάτων:

\[ \frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)} = \frac{A_1}{x-r_1} + \frac{A_2}{x-r_2} + \dots + \frac{A_n}{x-r_n}. \]

Τότε κάθε συντελεστής \(A_i\) μπορεί να υπολογιστεί χωρίς να λύσουμε σύστημα εξισώσεων, με δύο απλά βήματα.

---

🪄 Βήμα προς Βήμα – Ο Κανόνας της Κάλυψης

1. Διαλέγουμε τον παράγοντα \(x - r_i\) του παρονομαστή και «καλύπτουμε» (νοητά τον σβήνουμε) από το κλάσμα \(\dfrac{P(x)}{(x-r_1)\dots(x-r_n)}\).
2. Στην παράσταση που απομένει αντικαθιστούμε \(x = r_i\).
3. Η τιμή που προκύπτει είναι ο αντίστοιχος συντελεστής \(A_i\).

Έτσι βρίσκουμε κάθε \(A_i\) γρήγορα, χωρίς πολλαπλασιασμούς και σύστημα.

---

🧩 Παράδειγμα 1

Να αποσυντεθεί το κλάσμα

\[ \frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}. \]

Βρίσκουμε το \(A\)

Καλύπτουμε τον παράγοντα \((x-1)\) και θέτουμε \(x=1\) στο υπόλοιπο κλάσμα:

\[ A = \frac{3\cdot 1}{1+2} = 1. \]

Βρίσκουμε το \(B\)

Καλύπτουμε τον παράγοντα \((x+2)\) και θέτουμε \(x=-2\) στο υπόλοιπο κλάσμα:

\[ B = \frac{3(-2)}{-2-1} = 2. \]

Τελικό αποτέλεσμα:

\[ \frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}. \]

---

🔢 Παράδειγμα 2 – Περισσότεροι Παράγοντες

Θεωρούμε τώρα το κλάσμα

\[ \frac{2}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-4} + \frac{C}{x-5}. \]

Εφαρμόζουμε τη μέθοδο της κάλυψης σε κάθε παράγοντα:

\[ A = \frac{2}{(3-4)(3-5)} = 1,\qquad B = \frac{2}{(4-3)(4-5)} = -2,\qquad C = \frac{2}{(5-3)(5-4)} = 1. \]

Άρα:

\[ \frac{2}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{1}{x-3} - \frac{2}{x-4} + \frac{1}{x-5}. \]

---

🧠 Χρήσιμες Συμβουλές για Μαθητές

• 📘 Πριν χρησιμοποιήσεις τη μέθοδο, βεβαιώσου ότι ο παρονομαστής έχει διαφορετικούς γραμμικούς παράγοντες.
• ✋ Να θυμάσαι: καλύπτουμε τον παράγοντα και αντικαθιστούμε στη ρίζα που τον μηδενίζει.
• ⚡ Η Μέθοδος της Κάλυψης γλιτώνει χρόνο και σε απαλλάσσει από περίπλοκα συστήματα εξισώσεων.
• 🧮 Για παρονομαστές με τετράγωνα ή επαναλαμβανόμενους παράγοντες (π.χ. \((x-1)^2\)), η μέθοδος χρειάζεται προσοχή και δεν εφαρμόζεται τόσο απλά· εκεί συνήθως χρησιμοποιούμε την κλασική μέθοδο.

The Cover-Up Method for Partial Fractions – A Simple Guide

❓ What Is the Cover-Up Method?

The Cover-Up Method is a quick and simple technique for finding the constant numerators in a partial fraction decomposition when the denominator factors into distinct linear factors.

---

⚙️ How Does It Work?

Suppose we have a rational function of the form

\[ \frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)} \]

and we want to write it as a sum of simple fractions:

\[ \frac{P(x)}{(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)} = \frac{A_1}{x-r_1} + \frac{A_2}{x-r_2} + \dots + \frac{A_n}{x-r_n}. \]

Then each coefficient \(A_i\) can be found without solving a system of equations, using just two steps.

---

🪄 Step-by-Step – The Cover-Up Rule

1. Choose the factor \(x-r_i\) in the denominator and “cover it up” (mentally remove it) from \(\dfrac{P(x)}{(x-r_1)\dots(x-r_n)}\).
2. In the remaining expression, substitute \(x = r_i\).
3. The resulting value is the corresponding coefficient \(A_i\).

This way we obtain all the constants \(A_i\) quickly, without heavy algebra.

---

🧩 Example 1

Decompose the fraction

\[ \frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}. \]

Finding \(A\)

Cover the factor \((x-1)\) and substitute \(x=1\) into the rest of the fraction:

\[ A = \frac{3\cdot 1}{1+2} = 1. \]

Finding \(B\)

Cover the factor \((x+2)\) and substitute \(x=-2\) into the remaining expression:

\[ B = \frac{3(-2)}{-2-1} = 2. \]

Final result:

\[ \frac{3x}{(x-1)(x+2)} = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2}. \]

---

🔢 Example 2 – More Factors

Now consider

\[ \frac{2}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-4} + \frac{C}{x-5}. \]

We apply the cover-up method to each factor:

\[ A = \frac{2}{(3-4)(3-5)} = 1,\qquad B = \frac{2}{(4-3)(4-5)} = -2,\qquad C = \frac{2}{(5-3)(5-4)} = 1. \]

Therefore:

\[ \frac{2}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{1}{x-3} - \frac{2}{x-4} + \frac{1}{x-5}. \]

---

🧠 Study Tips for Students

• 📘 Before using the method, check that the denominator splits into distinct linear factors.
• ✋ Remember: cover the factor and substitute the root that makes it zero.
• ⚡ The Cover-Up Method saves time and avoids solving large systems of equations.
• 🧮 For repeated factors like \((x-1)^2\) you usually need the full partial-fractions method rather than the simple cover-up trick.