Cubic Function with Three Roots – Sign of the Derivative Product
Κυβική συνάρτηση με τρεις ρίζες και το πρόσημο της παραγώγου
Δίνεται η συνάρτηση
\[
f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c,
\]
όπου \(a,b,c \in \mathbb{R}\).
Υποθέτουμε ότι η \(f\) έχει τρία διακριτά (διαφορετικά) μηδενικά:
\[
f(p)=f(q)=f(r)=0,\quad p,q,r \text{ διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί}.
\]
Να αποδείξετε ότι
\[
f'(p)\cdot f'(q)\cdot f'(r) < 0.
\]
Cubic Function with Three Zeros and the Sign of the Derivative Product
Consider the function
\[
f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c,
\]
where \(a,b,c \in \mathbb{R}\).
Assume that \(f\) has three distinct real zeros:
\[
f(p)=f(q)=f(r)=0,\quad p,q,r \text{ are distinct real numbers}.
\]
Prove that
\[
f'(p)\cdot f'(q)\cdot f'(r) < 0.
\]
(Recall that \(f'(x)\) denotes the derivative of \(f\).)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου