Cubic Function with Three Roots – Sign of the Derivative Product

Κυβική συνάρτηση με τρεις ρίζες και το πρόσημο της παραγώγου

Δίνεται η συνάρτηση \[ f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c, \] όπου \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Υποθέτουμε ότι η \(f\) έχει τρία διακριτά (διαφορετικά) μηδενικά: \[ f(p)=f(q)=f(r)=0,\quad p,q,r \text{ διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί}. \]

Να αποδείξετε ότι \[ f'(p)\cdot f'(q)\cdot f'(r) < 0. \]

Cubic Function with Three Zeros and the Sign of the Derivative Product

Consider the function \[ f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c, \] where \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Assume that \(f\) has three distinct real zeros: \[ f(p)=f(q)=f(r)=0,\quad p,q,r \text{ are distinct real numbers}. \]

Prove that \[ f'(p)\cdot f'(q)\cdot f'(r) < 0. \]

(Recall that \(f'(x)\) denotes the derivative of \(f\).)