Expected Value on a Triangular Dartboard with Three Equal Circles

Τρίγωνος στόχος με τρεις κύκλους – πόσο «αξίζει» η καφέ περιοχή;

Έχουμε έναν παράξενο στόχο για βελάκια: είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο, μέσα στο οποίο είναι εγγεγραμμένοι τρεις κύκλοι ίσης ακτίνας. Οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους και στις πλευρές του τριγώνου, όπως στο σχήμα.

Ο στόχος είναι χωρισμένος σε τέσσερις χρωματιστές περιοχές:

• η καφέ περιοχή βαθμολογείται με x πόντους,
• η πορτοκαλί περιοχή βαθμολογείται με 3 πόντους,
• η μπλε περιοχή βαθμολογείται με 9 πόντους,
• η χρυσή περιοχή (στο κέντρο, ανάμεσα στους τρεις κύκλους) βαθμολογείται με 15 πόντους.

Υποθέτουμε ότι το βελάκι έχει ίση πιθανότητα να πέσει οπουδήποτε πάνω στο τρίγωνο (όλες οι θέσεις στο εμβαδόν του τριγώνου είναι εξίσου πιθανές).

Αν η αναμενόμενη τιμή (δηλαδή ο μέσος όρος, σε βάθος πολλών ριξιμάτων) της βαθμολογίας ενός «χτυπήματος» είναι

6√3 − 3 πόντοι,

να βρείτε την τιμή του x.

Triangular Target with Three Circles – How Much Is the Brown Region Worth?

We have an unusual dartboard: an equilateral triangle in which three circles of equal radius are inscribed. The circles are tangent to each other and to the sides of the triangle, as in the figure.

The target is divided into four colored regions:

• the brown region is worth x points,
• the orange region is worth 3 points,
• the blue region is worth 9 points,
• the gold central region (between the three circles) is worth 15 points.

We assume that the dart is equally likely to land at any point inside the triangle (all locations in the triangular area are equally probable).

If the expected value (long-run average score over many throws) of a single hit is

6√3 − 3 points,

find the value of x.