Πόσες είναι οι ψευδείς δηλώσεις;
Έχουμε ένα σακουλάκι και μέσα επτά χαρτάκια. Σε κάθε χαρτάκι είναι γραμμένη μία από τις παρακάτω προτάσεις:
- Τουλάχιστον μία από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι αληθής.
- Τουλάχιστον δύο από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι αληθείς.
- Τουλάχιστον τρεις από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι αληθείς.
- Τουλάχιστον μία από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι ψευδής.
- Τουλάχιστον δύο από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι ψευδείς.
- Τουλάχιστον τρεις από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι ψευδείς.
- Τουλάχιστον τέσσερις από τις δηλώσεις στο σακουλάκι είναι ψευδείς.
Αφαιρούμε στην τύχη ένα από τα επτά χαρτάκια. Τα υπόλοιπα έξι τα βάζουμε στο σακουλάκι και ελέγχουμε ποιες δηλώσεις είναι αληθείς και ποιες ψευδείς.
Ερώτηση:
Πόσες από τις έξι δηλώσεις που μένουν στο σακουλάκι είναι τελικά ψευδείς;
2 σχόλια:
Έστω α ο αριθμός των αληθών δηλώσεων ανάμεσα στις 6 που έμειναν. Όταν εξετάζουμε κάθε δήλωση ως προς τις έξι δηλώσεις, οι συνθήκες γίνονται:
ΑπάντησηΔιαγραφή• Δήλωση 1: αληθής ⇔ α≥1
• Δήλωση 2: αληθής ⇔ α≥2
• Δήλωση 3: αληθής ⇔ α≥3
• Δήλωση 4: αληθής ⇔ 6−α≥1 ⇔ α≤5
• Δήλωση 5: αληθής ⇔ 6−α≥2 ⇔ α≤4
• Δήλωση 6: αληθής ⇔ 6−α≥3 ⇔ α≤3
• Δήλωση 7: αληθής ⇔ 6−α≥4 ⇔ α≤2
(Αυτές είναι οι προϋποθέσεις αν η αντίστοιχη δήλωση υπάρχει ανάμεσα στις έξι — αν μία από τις επτά αφαιρεθεί, δεν την μετράμε.)
Για κάθε ενδεχόμενο ποια δήλωση αφαιρέθηκε, πρέπει α να ισούται με τον αριθμό των προτάσεων που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες μετά την αφαίρεση. Αν εξετάσει κανείς όλα τα α=0,1,2,3,4,5,6 (ή ισοδύναμα λύσει λογικά τις περιπτώσεις), το μόνο συνεπές αποτέλεσμα για οποιαδήποτε αφαίρεση των δηλώσεων 1–5 είναι α=4. Αν αφαιρεθεί όμως η δήλωση 6 ή η δήλωση 7 δεν υπάρχει καμία συνεπής κατανομή αληθών/ψευδών (δηλαδή αυτές οι αφαιρέσεις οδηγούν σε αντίφαση), οπότε στην πράξη η αφαίρεση που έχει γίνει πρέπει να είναι μία από τις δηλώσεις 1–5.
Συνεπώς στις έξι δηλώσεις που μένουν έχουμε: 4 αληθείς και 6−4=2 ψευδείς.
Ελπίζω πως ερμηνεύω αρκούντως το Ευαγγέλιο..:)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑπό τις 7 αρχικές δηλώσεις, οι 1,2,3,4,5 είναι αληθείς και οι 6,7 ψευδείς. Σκόρ 5-2
Αν τελικά αφαιρεθεί μία από τις 1,2 3,4,5, ο χαρακτήρας των υπολοίπων δεν αλλάζει και το τελικό σκορ γίνεται 4-2.
Αν αφαιρεθεί μία από τις 6,7, οι ψευδείς ελαττώνονται κατά τη 1 που αφαιρέθηκε, αλλά μετατρέπεται σε ψευδή η 5. Τελικό σκορ πάλι 4-2..