Maximum Area Trapezoid Between Two Root Functions

Τραπέζια ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις

Στο διάστημα \( [-7,2] \) είναι ορισμένες οι συναρτήσεις \[ f(x)=\sqrt{4x+28}=2\sqrt{x+7} \quad\text{και}\quad g(x)=-\sqrt{x+7}. \] Εξετάζουμε όλα τα τραπέζια \(ABCD\) με τις εξής ιδιότητες:

• Τα σημεία \(A\) και \(D\) ανήκουν στη γραφική παράσταση της \(f\).
• Τα σημεία \(B\) και \(C\) ανήκουν στη γραφική παράσταση της \(g\).
• Οι βάσεις \(AB\) και \(CD\) είναι παράλληλες προς τον άξονα \(Oy\).
• Ισχύει \( |AB| < |CD| \).

Μπορείτε να φανταστείτε ότι διαλέγουμε δύο διαφορετικές τιμές \(x_1,x_2\) στο διάστημα \([-7,2]\) και «σηκώνουμε» κάθετα από τα σημεία αυτά ένα τμήμα ανάμεσα στις δύο καμπύλες. Έτσι δημιουργείται ένα τραπέζιο.

---

Ερωτήματα

a) Έστω ότι η δεύτερη συντεταγμένη του σημείου \(B\) είναι \(-y\). Να δείξετε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου \(ABCD\) δεν υπερβαίνει την ποσότητα \[ P(y)=-\frac{3}{2}\bigl(y^3+3y^2-9y-27\bigr). \]

b) Μεταξύ όλων των τραπεζίων που ικανοποιούν τις παραπάνω συνθήκες και για τα οποία ισχύει \( |CD| > |AB| \), να βρείτε:

• τις συντεταγμένες των κορυφών του τραπεζίου με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν,
• την τιμή αυτού του μέγιστου εμβαδού.

Μπορείτε να δουλέψετε αλγεβρικά (με συναρτήσεις και παραγώγους) ή/και γεωμετρικά, ξεκινώντας από ένα προσεκτικά σχεδιασμένο σχήμα.

Trapezoids Between Two Square-Root Functions

On the interval \( [-7,2] \) we consider the functions \[ f(x)=\sqrt{4x+28}=2\sqrt{x+7} \quad\text{and}\quad g(x)=-\sqrt{x+7}. \] We look at all trapezoids \(ABCD\) satisfying:

• Vertices \(A\) and \(D\) lie on the graph of \(f\).
• Vertices \(B\) and \(C\) lie on the graph of \(g\).
• The bases \(AB\) and \(CD\) are parallel to the \(y\)-axis.
• We have \( |AB| < |CD| \).

Think of choosing two distinct points \(x_1,x_2\) in \([-7,2]\) and drawing vertical segments between the two curves. These four points form a trapezoid.

---

Questions

a) Suppose that the second coordinate of point \(B\) equals \(-y\). Show that the area of trapezoid \(ABCD\) does not exceed \[ P(y)=-\frac{3}{2}\bigl(y^3+3y^2-9y-27\bigr). \]

b) Among all such trapezoids with \( |CD| > |AB| \), determine:

• the coordinates of the vertices of the trapezoid with the largest possible area,
• the value of this maximal area.

You may approach the problem algebraically (functions and derivatives) and/or geometrically, starting from a carefully drawn diagram.