Pebbles and Tides – Steady-State Fraction on the Deep End of the Beach

Βότσαλα και Παλίρροιες: Σταθερό Κλάσμα στο Βαθύ Τμήμα της Παραλίας

Σε μια παραλία έχουν αποτεθεί εκατοντάδες εκατομμύρια βότσαλα στην παράκτια ζώνη. Χωρίζουμε τη ζώνη αυτή σε δύο μέρη: το βαθύ τμήμα και το ρηχό τμήμα.

Σε κάθε παλίρροια (high tide), το 20% από τα βότσαλα που βρίσκονται στο βαθύ τμήμα μεταφέρονται στο ρηχό τμήμα.

Σε κάθε άμπωτη (low tide), το 14% από τα βότσαλα που βρίσκονται στο ρηχό τμήμα μεταφέρονται στο βαθύ τμήμα.

Μετά από πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, το σύστημα φτάνει σε μια σταθερή κατάσταση (steady state), όπου τα ποσοστά των βοτσάλων σε κάθε τμήμα δεν αλλάζουν πλέον από κύκλο σε κύκλο παλίρροιας–άμπωτης.

Ερώτημα:
Ποιο είναι το ακριβές κλάσμα των βοτσάλων που βρίσκονται στο βαθύ τμήμα αμέσως μετά από μια παλίρροια;

Pebbles and Tides: Steady-State Fraction on the Deep End of the Beach

Along a beach there are hundreds of millions of pebbles lying in the coastal zone. We divide this zone into two parts: the deep section and the shallow section.

At each high tide, 20% of the pebbles in the deep section are moved into the shallow section.

At each low tide, 14% of the pebbles in the shallow section are moved into the deep section.

After a very long time, the system reaches a steady state, where the proportions of pebbles in each section no longer change from one tide cycle to the next.

Question:
What is the exact fraction of pebbles that lie in the deep section immediately after a high tide?