Τι είναι το sin(A) όταν το A είναι πίνακας;

Οι μαθηματικοί αγαπούν να γενικεύουν ιδέες — συχνά με τρόπους που αρχικά μοιάζουν αποκομμένοι από την πραγματικότητα. Όμως, αυτές οι γενικεύσεις καταλήγουν να αποτελούν θεμέλια για τη φυσική, τη μηχανική και την τεχνητή νοημοσύνη. Εδώ εξερευνούμε μία από τις πιο όμορφες: την εφαρμογή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε πίνακες.

Η βασική ερώτηση

Αν μπορούμε να βάλουμε αριθμούς μέσα σε συναρτήσεις όπως το ημίτονο (sin), το συνημίτονο (cos) ή τον εκθετικό (exp), μπορούμε να κάνουμε το ίδιο και με πίνακες;

Αρχικά, αυτό φαίνεται σαν θεωρητική περιέργεια. Όμως, οι συναρτήσεις πινάκων έχουν τεράστια σημασία: από τη φυσική και τη θεωρία ελέγχου μέχρι τη ρομποτική και τα νευρωνικά δίκτυα.

Πώς ορίζεται το sin(A);

Δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε άμεσα τον γνωστό τύπο

\[ \sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \]

στα στοιχεία ενός πίνακα — δεν έχει νόημα. Αντίθετα, βασιζόμαστε στη σειρά Taylor του ημιτόνου:

\[ \sin(x) \;=\; x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\, x^{\,2k+1}. \]

\[ \sin(A) \;=\; A - \frac{A^{3}}{3!} + \frac{A^{5}}{5!} - \frac{A^{7}}{7!} + \cdots \;=\; \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\, A^{\,2k+1}. \]

Η σειρά αυτή συγκλίνει πάντα για κάθε τετράγωνο πίνακα \(A\) (σε οποιαδήποτε συνεπή νόρμα).

Παράδειγμα 1: Διαγώνιος πίνακας

\[ A=\begin{pmatrix}\lambda_1 & 0 \\[2pt] 0 & \lambda_2\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \sin(A)=\begin{pmatrix}\sin(\lambda_1) & 0 \\[2pt] 0 & \sin(\lambda_2)\end{pmatrix}. \]

Συμπέρασμα: Αν \(A\) είναι διαγωνίσιμος, \(A=PDP^{-1}\), τότε \[ \sin(A)=P\,\sin(D)\,P^{-1}, \] όπου το \(\sin(D)\) εφαρμόζεται κατά στοιχείο στη διαγώνιο του \(D\).

Παράδειγμα 2: Μη διαγώνιος (Jordan block)

\[ A=\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\[2pt] 0 & \lambda\end{pmatrix} \;=\; \lambda I + N, \quad N^2=0. \] \[ \sin(A)=\sin(\lambda)\,I+\cos(\lambda)\,N = \begin{pmatrix} \sin(\lambda) & \cos(\lambda)\\[2pt] 0 & \sin(\lambda) \end{pmatrix}. \]

Πού το συναντάμε στην πράξη;

Τομέας	Εφαρμογή
Κβαντομηχανική	Χρονική εξέλιξη \(U(t)=e^{-iHt/\hbar}\). Σε συστήματα με εξωτερικά πεδία εμφανίζονται όροι όπως \(\sin(Ht)\), \(\cos(Ht)\).
Ταλαντώσεις	Συστήματα \( \ddot{x}=Ax \) έχουν λύσεις που περιλαμβάνουν \(\sin(\sqrt{A}\,t)\), \(\cos(\sqrt{A}\,t)\).
Θεωρία Ελέγχου / Ρομποτική	Ανάλυση μεταβατικών αποκρίσεων σε γραμμικά συστήματα μέσω συναρτήσεων πινάκων.
Neural ODEs	Συνεχή μοντέλα με \(e^{At}\)· συναρτήσεις όπως \(\sin(At)\), \(\cos(At)\) εμφανίζονται σε αναλύσεις σταθερότητας/ρυθμίσεων.

Σύνοψη

Ερώτηση	Απάντηση
Είναι έγκυρο το \( \sin(A) \);	Ναι, για κάθε τετράγωνο πίνακα \(A\).
Πώς ορίζεται;	Μέσω σειράς: \( \displaystyle \sin(A)=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}A^{2k+1}\).
Σε διαγώνιο πίνακα;	Εφαρμόζεται κατά στοιχείο στη διαγώνιο.
Έχει εφαρμογές;	Πολλές — φυσική, μηχανική, AI.