Τι σημαίνει «trivial» σε μια μαθηματική απόδειξη; 10 παραδείγματα για να το καταλάβεις πλήρως

Τι σημαίνει όταν σε μια Απόδειξη γράφεται "trivial";

Η λέξη trivial εμφανίζεται συχνά σε βιβλία και αποδείξεις. Πολλοί την παρερμηνεύουν ως «εύκολο» ή «απλοϊκό».
Όμως, στα Μαθηματικά trivial σημαίνει:

Το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα από έναν ορισμό, έναν γνωστό κανόνα ή ήδη αποδεδειγμένη σχέση — άρα δεν χρειάζεται νέα ιδέα.

Δεν σημαίνει «είναι εύκολο για όλους».
Σημαίνει: η λογική του βήματος είναι ήδη διαθέσιμη από πριν.

---

10 Παραδείγματα “Trivial” Βημάτων

1. Από $a>b$ προκύπτει $a+1>b+1$

Απλά προσθέτουμε το ίδιο ποσό και στα δύο μέλη.
➡️ Trivial λόγω κανόνα ισοτήτων.

---

2. Αν $x=0$, τότε $x^2=0$

Ευθεία αντικατάσταση.
➡️ Δεν χρειάζεται απόδειξη.

---

3. Από τη συνέχεια προκύπτει ότι $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

Αν έχει ήδη δοθεί ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο $a$.
➡️ Ο ορισμός της συνέχειας το λέει.

---

4. Αν $\sin^2x+\cos^2x=1$, τότε $\sin^2x=1-\cos^2x$

Απλή αναδιάταξη.
➡️ Trivial από βασική τριγωνομετρική ταυτότητα.

---

5. Αν $AB = BC$, τότε το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές

Αυτός είναι ο ορισμός του ισοσκελούς τριγώνου.
➡️ Trivial μέσω ορισμού.

---

6. Αν $f'(x)=0$ για όλα τα x, τότε $f(x)=c$

Άμεσο από το Θεμελιώδες Θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού.
➡️ Trivial σε ανώτερο επίπεδο.

---

7. Αν $A ⊆ B$ και $B ⊆ C$, τότε $A ⊆ C$

Σειριακή ένταξη.
➡️ Trivial από ορισμό υποσυνόλου.

---

8. Η συνάρτηση $e^x$ δεν μηδενίζεται ποτέ

Αυτό είναι γνωστή ιδιότητα της εκθετικής συνάρτησης.
➡️ Trivial σε Ανάλυση.

---

9. Το άθροισμα δύο άρτιων είναι άρτιος

Αν $2k+2m = 2(k+m)$.
➡️ Trivial από ορισμό άρτιου αριθμού.

---

10. Αν $A=B$, τότε $A+C=B+C$

Προσθήκη στον ορισμό της ισότητας.
➡️ Trivial στη θεωρία αριθμών και άλγεβρα.

---

Γιατί υπάρχει ο όρος “trivial”;

Δεν είναι θέμα δυσκολίας.
Είναι θέμα νέας ιδέας.

• Αν χρειάζεται καινούρια σκέψη → δεν είναι trivial.

• Αν βγαίνει άμεσα από κάτι που ήδη έχουμε → είναι trivial.

Συμπέρασμα

Trivial = λογικό βήμα που προκύπτει χωρίς νέα μαθηματική ιδέα.

Όχι «εύκολο».
Όχι «μη σημαντικό».
Απλώς άμεση συνέπεια.