Two Inscribed Semicircles: Prove Their Area Is Half the Circle

Δύο εγγεγραμμένα ημικύκλια: πόσο είναι το συνολικό εμβαδόν τους;

Δίνεται ένας κύκλος και μέσα του είναι εγγεγραμμένα δύο ημικύκλια.

Τα ημικύκλια είναι εφαπτόμενα μεταξύ τους (αγγίζουν το ένα το άλλο σε ένα μόνο σημείο). Οι διάμετροί τους βρίσκονται σε ευθείες παράλληλες μεταξύ τους.

Κάθε ημικύκλιο έχει τη διάμετρό του πάνω σε χορδή του μεγάλου κύκλου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να δείξετε ότι το συνολικό εμβαδόν των δύο ημικυκλίων είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του περιγεγραμμένου κύκλου.

Two Inscribed Semicircles: Prove Their Area Is Half the Circle

Problem Statement

A circle is given, and inside it two semicircles are inscribed.

The semicircles are tangent to each other (they touch at exactly one point). Their diameters lie on two parallel straight lines.

Each semicircle has its diameter placed on a chord of the large circle, as shown in the diagram.

Show that the total area of the two semicircles is equal to half the area of the outer circle.