When Is a Quartic the Square of a Quadratic? Factorising a Fourth-Degree Equation

Πότε ένα πολυώνυμο τέταρτου βαθμού είναι τετράγωνο τριωνύμου;

Θεωρούμε το πολυώνυμο

f(x) = x⁴ + a x³ + b x² + c x + d,

όπου a, b, c, d είναι πραγματικοί αριθμοί, και υποθέτουμε ότι

d = c² / a².

Να βρείτε τον συντελεστή b ως συνάρτηση των a και c, έτσι ώστε το f(x) να μπορεί να γραφτεί ως τετράγωνο τριωνύμου, δηλαδή

f(x) = (x² + p x + q)²

για κάποιους πραγματικούς αριθμούς p, q.

Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του (1), να βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης:

x⁴ + 2x³ − 20x² + 6x + 9 = 0.

When Is a Quartic the Square of a Quadratic?

We consider the polynomial

f(x) = x⁴ + a x³ + b x² + c x + d,

where a, b, c, d are real numbers, and we assume that

d = c² / a².

Find the coefficient b as a function of a and c so that f(x) can be written as the square of a quadratic, i.e.

f(x) = (x² + p x + q)²

for some real numbers p, q.

Using the result from part (1), find all solutions of the equation:

x⁴ + 2x³ − 20x² + 6x + 9 = 0.