Τα Πολυώνυμα Wilkinson και η Ευαισθησία των Ριζών: Μια Εντυπωσιακή Ανακάλυψη στην Αριθμητική Ανάλυση

Υπάρχει μια πολύ ενδιαφέρουσα οικογένεια πολυωνύμων, που εισήχθη από τον James H. Wilkinson πριν από περίπου πενήντα χρόνια. Αυτά τα πολυώνυμα παρουσιάζουν μια αξιοσημείωτη και αντιδιαισθητική ιδιότητα: ορισμένες από τις ρίζες τους είναι εξαιρετικά ευαίσθητες σε πολύ μικρές μεταβολές στους συντελεστές. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί κεντρικό στοιχείο της αριθμητικής ανάλυσης και δείχνει πώς η πράξη του «υπολογισμού» μπορεί να είναι βαθιά ευαίσθητη στα σφάλματα στρογγυλοποίησης.

---

Ορισμός των Πολυωνύμων Wilkinson

Ορίζουμε τα πολυώνυμα Wilkinson $W(x,n)$ για κάθε μη αρνητικό ακέραιο $n$:

$$W(x,0)=1$$
$$W(x,1)=x-1$$
$$W(x,2)=(x-2)(x-1)$$
$$W(x,3)=(x-3)(x-2)(x-1)$$

Γενικότερα:

$$W(x,n) = (x-n)\,W(x,n-1), \quad n>0$$

Άρα, το πολυώνυμο έχει βαθμό $n$ και οι ρίζες του είναι:

$$x=1,2,3,\dots,n.$$

Για παράδειγμα, το $W(x,7)$ είναι:

$$W(x, 7) = x^7 - 28x^6 + 322x^5 - 1960x^4 + 6769x^3 - 13132x^2 + 13068x - 5040.$$

Το Κλασικό Πολυώνυμο Wilkinson

Πιο γνωστή είναι η περίπτωση:

$$W(x,20) = x^{20} - 210x^{19} + \cdots + 2432902008176640000,$$

η οποία ονομάζεται συχνά το Πολυώνυμο του Wilkinson.

---

Η Ιδιορρυθμία: Μικρές Αλλαγές → Τεράστιες Μεταβολές στις Ρίζες

Ήταν γνωστό ήδη ότι:

• Αν ένα πολυώνυμο έχει διπλές ή πολύ κοντινές ρίζες, τότε μικρές μεταβολές στους συντελεστές μπορούν να προκαλέσουν μεγάλες αλλαγές στις ρίζες.

Παράδειγμα:

$$P(x)= (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1.$$

Αν αλλάξουμε ελάχιστα τον σταθερό όρο:

$$Q(x)=x^2 - 2x + (1-a),$$

τότε οι ρίζες γίνονται:

$$x=1 \pm a.$$

Ακόμη και για $a = 0.1$, η μεταβολή είναι εμφανής.

Το εκπληκτικό που έδειξε ο Wilkinson:
Αυτό μπορεί να συμβεί ακόμη και όταν οι ρίζες είναι όλες μακριά μεταξύ τους, όπως στο $1,2,3,\dots,20$.
Δηλαδή, η σταθερότητα των ριζών δεν εξαρτάται μόνο από το πόσο κοντά είναι μεταξύ τους, αλλά και από τη μορφή του πολυωνύμου και τα σφάλματα υπολογισμού.

---

Συμπέρασμα

Τα πολυώνυμα του Wilkinson αποτελούν ένα από τα σημαντικότερα παραδείγματα:

• Κακής κατάστασης μαθηματικών προβλημάτων,

• Αριθμητικής αστάθειας,

• Και της ανάγκης για προσεκτικούς αλγορίθμους υπολογισμού ριζών.

Δείχνουν με εντυπωσιακό τρόπο ότι η θεωρία και ο υπολογισμός δεν ταυτίζονται, και ότι η αριθμητική ανάλυση είναι απαραίτητη για τη σωστή ερμηνεία των αποτελεσμάτων.