Tricks for 3 and 11 with Digit Sums

Κανόνες διαιρετότητας για το 3 και το 11

Ο Μπάμπης βαριέται να κάνει μακρά διαίρεση για να ελέγχει αν ένας αριθμός διαιρείται με κάποιον άλλο. Μια μέρα παρατηρεί ότι:
Αν πάρουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και αυτό το άθροισμα είναι διαιρετό με 3, τότε και ο αρχικός αριθμός είναι διαιρετός με 3.

Παράδειγμα: για τον αριθμό 27 έχουμε \(2 + 7 = 9\). Εφόσον το 9 είναι διαιρετό με 3, ο Μπάμπης συμπεραίνει ότι και το 27 είναι διαιρετό με 3.

1. Ισχύει αυτό το «κόλπο» για όλους τους θετικούς ακέραιους; Αν ναι, να το αποδείξετε.
2. Μπορείτε να βρείτε έναν ανάλογο «κανόνα με ψηφία» για αριθμούς που διαιρούνται με 11; Περιγράψτε τον κανόνα και αποδείξτε ότι ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους.

Divisibility Tricks for 3 and 11

Bob finds it tedious to use long division to test divisibility. One day he notices the following:
If you take the sum of all the digits of a number and this sum is divisible by 3, then the original number is also divisible by 3.

For example, take the number 27. We have \(2 + 7 = 9\). Since 9 is divisible by 3, Bob concludes that 27 is also divisible by 3.

1. Does this trick work for all positive integers? If so, prove it.
2. Can you invent a similar “digit rule” for numbers that are divisible by 11? Describe your rule and prove that it works for all positive integers.