Εναλλασσόμενο άθροισμα τετραγώνων μέχρι το 2024
Πρόβλημα. Υπολογίστε το άθροισμα
\(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 2023^2 - 2024^2\).
Επιλογές:
- Α) \(-2047276\)
- Β) \(-2049300\)
- Γ) \(-4072324\)
- Δ) \(-4074342\)
- Ε) \(-4076361\)
Λύση (κλικ για εμφάνιση)
Ομαδοποιούμε τους όρους ανά δύο:
\[
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 2023^2 - 2024^2
= \sum_{n=1}^{1012} \bigl((2n-1)^2 - (2n)^2\bigr).
\]
Υπολογίζουμε ένα γενικό ζεύγος:
\[
(2n-1)^2 - (2n)^2
= (4n^2 - 4n + 1) - 4n^2
= -4n + 1.
\]
Άρα
\[
S = \sum_{n=1}^{1012} (-4n + 1)
= -4\sum_{n=1}^{1012} n + \sum_{n=1}^{1012} 1.
\]
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{1012} n = \frac{1012\cdot 1013}{2}\), οπότε
\[
S = -4 \cdot \frac{1012\cdot 1013}{2} + 1012
= -2\cdot 1012\cdot 1013 + 1012
= 1012(-2026 + 1)
= 1012 \cdot (-2025)
= -2049300.
\]
Σωστή απάντηση: Β) \(-2049300\).
Alternating Sum of Squares up to 2024
Problem. Compute the sum
\(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 2023^2 - 2024^2\).
Options:
- (A) \(-2047276\)
- (B) \(-2049300\)
- (C) \(-4072324\)
- (D) \(-4074342\)
- (E) \(-4076361\)
Solution (click to reveal)
Group the terms in pairs:
\[
1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots + 2023^2 - 2024^2
= \sum_{n=1}^{1012} \bigl((2n-1)^2 - (2n)^2\bigr).
\]
For a general pair we get
\[
(2n-1)^2 - (2n)^2
= (4n^2 - 4n + 1) - 4n^2
= -4n + 1.
\]
Hence
\[
S = \sum_{n=1}^{1012} (-4n + 1)
= -4\sum_{n=1}^{1012} n + \sum_{n=1}^{1012} 1.
\]
Since \(\displaystyle \sum_{n=1}^{1012} n = \frac{1012\cdot 1013}{2}\), we have
\[
S = -4 \cdot \frac{1012\cdot 1013}{2} + 1012
= -2\cdot 1012\cdot 1013 + 1012
= 1012(-2026 + 1)
= 1012 \cdot (-2025)
= -2049300.
\]
Correct answer: (B) \(-2049300\).
.webp)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου