Carmen and the Cars – Estimating Walking Speed from Passing Traffic

Η Κατερίνα και τα Αυτοκίνητα: Πόσο Γρήγορα Περπατάει;

Η Κατερίνα ζει σε μια μικρή πόλη και περπατά κάθε μέρα μέχρι το σχολείο. Καθώς περπατά, βλέπει μερικά αυτοκίνητα να περνούν και προς τις δύο κατευθύνσεις, όλα με την ίδια σταθερή ταχύτητα (το όριο ταχύτητας). Κατά μέσο όρο, ο ίδιος αριθμός αυτοκινήτων κινείται κάθε μέρα προς κάθε κατεύθυνση στον δρόμο της Κατερίνα. Επειδή όμως η Κατερίνα δεν στέκεται ακίνητη, βλέπει περισσότερα αυτοκίνητα να την προσπερνούν στην αντίθετη κατεύθυνση.

Η Κατερίνα έχει κρατήσει στοιχεία και ξέρει ότι, σε μια τυπική μέρα, περίπου 5 αυτοκίνητα την προσπερνούν προς την ίδια κατεύθυνση με εκείνη, και περίπου 6 αυτοκίνητα την προσπερνούν προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την ταχύτητα βάδισης της Κατερίνας σε σχέση με την ταχύτητα ενός αυτοκινήτου;

(A) Είναι μικρότερη από το 10% της ταχύτητας του αυτοκινήτου.
(B) Είναι μεταξύ 10% και 20% της ταχύτητας του αυτοκινήτου.
(C) Είναι μεταξύ 20% και 30% της ταχύτητας του αυτοκινήτου.
(D) Είναι μεγαλύτερη από το 30% της ταχύτητας του αυτοκινήτου.
(E) Δεν μπορεί να προσδιοριστεί.

Λύση

Έστω ότι η ταχύτητα των αυτοκινήτων είναι \(v\), και της Carmen είναι \(w\) προς την ίδια κατεύθυνση. Υποθέτουμε ότι η «πυκνότητα» των αυτοκινήτων στον δρόμο είναι η ίδια και προς τις δύο κατευθύνσεις.

Ο ρυθμός με τον οποίο η Carmen συναντά αυτοκίνητα εξαρτάται από την σχετική ταχύτητα:

• Για αυτοκίνητα στην ίδια κατεύθυνση: σχετική ταχύτητα \(v - w\).
• Για αυτοκίνητα στην αντίθετη κατεύθυνση: σχετική ταχύτητα \(v + w\).

Ο αριθμός αυτοκινήτων που την προσπερνούν σε σταθερό χρονικό διάστημα είναι ανάλογος με αυτές τις ταχύτητες. Άρα:

\(\dfrac{\text{ίδια κατεύθυνση}}{\text{αντίθετη κατεύθυνση}} = \dfrac{v - w}{v + w}.\)

Η Carmen μετρά 5 αυτοκίνητα στην ίδια κατεύθυνση και 6 στην αντίθετη, οπότε:

\(\dfrac{v - w}{v + w} = \dfrac{5}{6}.\)

Θέτουμε \(r = \dfrac{w}{v}\) (η ταχύτητα της Carmen ως κλάσμα της ταχύτητας του αυτοκινήτου). Τότε:

\(\dfrac{1 - r}{1 + r} = \dfrac{5}{6}.\)

Λύνουμε:

\(6(1 - r) = 5(1 + r)\)
\(6 - 6r = 5 + 5r\)
\(1 = 11r \Rightarrow r = \dfrac{1}{11} \approx 0{,}09.\)

Άρα η Carmen περπατά με ταχύτητα περίπου 9% της ταχύτητας του αυτοκινήτου, δηλαδή λιγότερο από 10%.

Σωστή απάντηση: (A).

Carmen and the Cars: How Fast Is She Walking?

Problem

Carmen lives in a small town and walks to school each day. As she walks, she sees a few cars drive by in both directions, all going exactly at the speed limit. On average, about the same number of cars travel each way along the street Carmen takes to school. However, because Carmen is not standing still, she sees more cars pass her going in the opposite direction.

Carmen has kept statistics and knows that on an average day, about 5 cars pass her going in the same direction, and about 6 cars pass her going in the opposite direction.

What can we conclude about Carmen’s walking speed compared to the speed of a car?

(A) It is less than 10% of the speed of a car.
(B) It is between 10% and 20% of the speed of a car.
(C) It is between 20% and 30% of the speed of a car.
(D) It is more than 30% of the speed of a car.
(E) Cannot be determined.

Solution

Let the speed of the cars be \(v\), and Carmen’s walking speed be \(w\) in the same direction. Assume the car density on the road is the same in both directions.

The number of cars Carmen sees in a fixed time is proportional to the relative speed:

• Same direction: relative speed \(v - w\).
• Opposite direction: relative speed \(v + w\).

Hence

\(\dfrac{\text{same direction}}{\text{opposite direction}} = \dfrac{v - w}{v + w}.\)

She observes 5 cars in her direction and 6 in the opposite direction:

\(\dfrac{v - w}{v + w} = \dfrac{5}{6}.\)

Let \(r = \dfrac{w}{v}\), Carmen’s speed as a fraction of car speed. Then

\(\dfrac{1 - r}{1 + r} = \dfrac{5}{6}.\)

Solve:

\(6(1 - r) = 5(1 + r)\)
\(6 - 6r = 5 + 5r\)
\(1 = 11r \Rightarrow r = \dfrac{1}{11} \approx 0.09.\)

So Carmen walks at about 9% of the speed of a car, which is less than 10%.

Correct answer: (A).