Logarithms and Integers Puzzle – Find x from B6 + B7 = Bx

Ορίζουμε για κάθε θετικό ακέραιο \(n\):

\(A_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)\),

\(B_n = \log A_1 + \log A_2 + \dots + \log A_n.\)

Αν ισχύει \(B_6 + B_7 = B_x\) για κάποιον ακέραιο \(x\), να βρεθεί το \(x\).

Επιλογές:

• Α) 9
• Β) 10
• Γ) 11
• Δ) 12
• Ε) 13

Λύση (κλικ για εμφάνιση)

Το άθροισμα των πρώτων \(n\) περιττών αριθμών είναι γνωστό ότι δίνει τέλειο τετράγωνο: \[ A_n = 1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2. \] Άρα \(A_k = k^2\) για κάθε \(k\).

Τότε \[ B_n = \sum_{k=1}^n \log A_k = \sum_{k=1}^n \log(k^2) = \sum_{k=1}^n 2\log k = 2\sum_{k=1}^n \log k = 2\log(1\cdot 2\cdot \dots \cdot n) = 2\log(n!). \]

Επομένως \[ B_6 + B_7 = 2\log(6!) + 2\log(7!) = 2\log(6!\cdot 7!). \] Θέλουμε να βρούμε \(x\) ώστε \[ B_x = 2\log(x!) = 2\log(6!\cdot 7!). \] Άρα πρέπει \[ x! = 6!\cdot 7!. \]

Υπολογίζουμε: \(6! = 720\), \(7! = 5040\), οπότε \[ 6!\cdot 7! = 720 \cdot 5040 = 3\,628\,800. \] Γνωρίζουμε όμως ότι \[ 10! = 3\,628\,800. \] Άρα \(x! = 10!\) και συνεπώς \(x = 10\).

Σωστή απάντηση: Β) 10.

Logarithms, Integers and a Hidden Equality

For each positive integer \(n\), define

\(A_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1),\)

\(B_n = \log A_1 + \log A_2 + \dots + \log A_n.\)

If \(B_6 + B_7 = B_x\) for some integer \(x\), compute \(x\).

Choices:

• (A) 9
• (B) 10
• (C) 11
• (D) 12
• (E) 13

Solution (click to reveal)

The sum of the first \(n\) odd numbers is a perfect square: \[ A_n = 1+3+5+\dots+(2n-1) = n^2, \] so \(A_k = k^2\).

Then \[ B_n = \sum_{k=1}^n \log A_k = \sum_{k=1}^n \log(k^2) = \sum_{k=1}^n 2\log k = 2\sum_{k=1}^n \log k = 2\log(1\cdot 2\cdot \dots \cdot n) = 2\log(n!). \]

Thus \[ B_6 + B_7 = 2\log(6!) + 2\log(7!) = 2\log(6!\cdot 7!). \] We need \(x\) such that \[ B_x = 2\log(x!) = 2\log(6!\cdot 7!), \] which means \[ x! = 6!\cdot 7!. \]

Compute: \(6! = 720\), \(7! = 5040\), so \[ 6!\cdot 7! = 720 \cdot 5040 = 3\,628\,800. \] But \[ 10! = 3\,628\,800, \] hence \(x! = 10!\) and \(x = 10\).

Correct answer: (B) 10.