Sum of Areas of Rectangles under an Exponential Curve

Εμβαδά ορθογωνίων κάτω από εκθετική καμπύλη

Στο σχήμα φαίνεται ένα άπειρο πλήθος ορθογωνίων, των οποίων μία κορυφή βρίσκεται πάνω στην καμπύλη \(y = k^{-x}\).

Τα ορθογώνια έχουν πλάτος 1 μονάδα και είναι τοποθετημένα διαδοχικά από τα αριστερά προς τα δεξιά. Η χρωματική τους διάταξη, από αριστερά προς τα δεξιά, είναι: ροζ, πορτοκαλί, μοβ, ροζ, πορτοκαλί, μοβ, ….

Δίνεται ότι το εμβαδόν του 3ου πορτοκαλί ορθογωνίου από τα αριστερά είναι ίσο με \(2^{-8}\).

Να υπολογιστεί το άθροισμα των εμβαδών των πρώτων 10 ορθογωνίων, σε τετραγωνικές μονάδες.

Δίνονται οι παρακάτω επιλογές:

• A) \(2^{10} - 1\)
• B) \(2^{6} - 1\)
• C) \(1 - 2^{-10}\)
• D) \(1 - 2^{-12}\)
• E) \(1 - 2^{-15}\)

Areas of Rectangles under an Exponential Curve

The figure shows infinitely many rectangles, each having one vertex on the curve \(y = k^{-x}\).

Each rectangle has width 1 unit and they are placed consecutively from left to right. Their colors repeat in the following order: pink, orange, purple, pink, orange, purple, ….

It is given that the area of the third orange rectangle from the left is equal to \(2^{-8}\).

Find the sum of the areas of the first 10 rectangles, in square units.

The possible answers are:

• A) \(2^{10} - 1\)
• B) \(2^{6} - 1\)
• C) \(1 - 2^{-10}\)
• D) \(1 - 2^{-12}\)
• E) \(1 - 2^{-15}\)