Εμβαδά ορθογωνίων κάτω από εκθετική καμπύλη
Στο σχήμα φαίνεται ένα άπειρο πλήθος ορθογωνίων, των οποίων μία κορυφή βρίσκεται πάνω στην καμπύλη \(y = k^{-x}\).
Τα ορθογώνια έχουν πλάτος 1 μονάδα και είναι τοποθετημένα διαδοχικά από τα αριστερά προς τα δεξιά. Η χρωματική τους διάταξη, από αριστερά προς τα δεξιά, είναι: ροζ, πορτοκαλί, μοβ, ροζ, πορτοκαλί, μοβ, ….
Δίνεται ότι το εμβαδόν του 3ου πορτοκαλί ορθογωνίου από τα αριστερά είναι ίσο με \(2^{-8}\).
Να υπολογιστεί το άθροισμα των εμβαδών των πρώτων 10 ορθογωνίων, σε τετραγωνικές μονάδες.
Δίνονται οι παρακάτω επιλογές:
- A) \(2^{10} - 1\)
- B) \(2^{6} - 1\)
- C) \(1 - 2^{-10}\)
- D) \(1 - 2^{-12}\)
- E) \(1 - 2^{-15}\)
1 σχόλιο:
E1=1/k,E2=1/k^2,E3=1/k^3...=>το εμβαδόν του 3ου πορτοκαλί ορθογωνίου από τα αριστερά είναι ίσο με 1/k^8=1/2^8=>k=2.Tο ζητούμενο άθροισμα είναι 10 δ.ο. γ.π. με α1=1/2, λ=1/2 και ισούται με S10=1/2*((1/2)^10-1)/(1/2-1)=1-2^(-10)=>C
ΑπάντησηΔιαγραφή