Tomography and the Radon Transform – When Medical Images Are Pure Mathematics

Τομογραφία & Μετασχηματισμός Radon: όταν οι ιατρικές εικόνες είναι καθαρά μαθηματικά

Στην αξονική τομογραφία δεν «βγάζουμε μια απλή φωτογραφία». Ο τομογράφος στέλνει χιλιάδες δέσμες ακτίνων Χ μέσα από το σώμα, από πολλές διαφορετικές διευθύνσεις. Κάθε δέσμη μετράει πόσο εξασθενούν οι ακτίνες καθώς περνούν από τους ιστούς – οστό, υγρά, αέρας κτλ.

Μαθηματικά, αυτό σημαίνει ότι για κάθε ευθεία που διασχίζει το αντικείμενο υπολογίζουμε το ολόκληρωμα της απορρόφησης κατά μήκος αυτής της ευθείας. Ο Johan Radon έδειξε ότι η γνώση όλων αυτών των ολοκληρωμάτων – για όλες τις ευθείες και όλες τις γωνίες – ορίζει έναν νέο μετασχηματισμό, τον μετασχηματισμό Radon. Η «εικόνα» που βλέπει ο ανιχνευτής του τομογράφου δεν είναι το κρανίο ή ο εγκέφαλος, αλλά η Radon εικόνα του, ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο (συχνά ονομάζεται sinogram).

Θεωρία – Μετασχηματισμός Radon
Για μια συνάρτηση απορρόφησης \(A(x,y)\) στο επίπεδο, ο μετασχηματισμός Radon ορίζεται ως \[ \mathcal{R}A(r,\theta) = \int_{D_{r,\theta}} A(x,y)\,ds, \] όπου \(D_{r,\theta}\) είναι η ευθεία με απόσταση \(r\) από την αρχή και γωνία \(\theta\). Κάθε τιμή \(\mathcal{R}A(r,\theta)\) είναι το άθροισμα της απορρόφησης κατά μήκος ενός πιθανού «μονοπατιού ακτίνων Χ».

Από τα δεδομένα στη ιατρική εικόνα: η (φιλτραρισμένη) ρετροπροβολή

Για να ανακτήσουμε τη μορφή του αρχικού αντικειμένου, πρέπει να «αντιστρέψουμε» τον μετασχηματισμό Radon. Μια πρώτη ιδέα είναι η ρετροπροβολή: για κάθε σημείο του επιπέδου παίρνουμε τον μέσο όρο όλων των τιμών \(\mathcal{R}A(r,\theta)\) των ευθειών που περνούν από αυτό το σημείο. Αυτό δίνει μια προσεγγιστική εικόνα, αλλά θολή.

Η βελτίωση έρχεται με τα εργαλεία της ανάλυσης Fourier. Χρησιμοποιώντας τη λεγόμενη φιλτραρισμένη ρετροπροβολή (filtered back-projection) εφαρμόζουμε ένα κατάλληλο φίλτρο στις συχνότητες της Radon εικόνας πριν κάνουμε ρετροπροβολή. Έτσι ανακτούμε καθαρά άκρα, λεπτομέρειες και μικρές δομές – αυτό που τελικά βλέπει ο γιατρός στην οθόνη.

Συνοπτικά
• Τομογράφος ⟶ μετράει ολοκληρώματα κατά μήκος ευθειών (Radon).
• Μαθηματικό βήμα 1: υπολογισμός της μετασχηματισμένης εικόνας \(\mathcal{R}A\).
• Μαθηματικό βήμα 2: φιλτραρισμένη ρετροπροβολή με χρήση μετασχηματισμού Fourier.
• Τελικό αποτέλεσμα: λεπτομερής εικόνα του εσωτερικού του σώματος – κυριολεκτικά «εικόνα από μαθηματικά».

Περισσότερες λεπτομέρειες, εικόνες και αποδείξεις στο εξαιρετικό άρθρο (στα γαλλικά):
Romain Bondil, Tomographie et transformée de Radon : des images de maths !, Images des mathématiques, volume 2 (2024), doi: 10.60868/0ppx-0a42.

Tomography and the Radon Transform: when medical images are pure maths

In X-ray CT scanning we do not take a simple photograph. The scanner sends thousands of X-ray beams through the body from many different directions. Each beam measures how much the radiation is attenuated by the tissues it passes through – bone, fluids, air and so on.

Mathematically this means that, for every line crossing the object, we compute the integral of the attenuation along that line. Johan Radon showed that the collection of all these line integrals, for all offsets and angles, defines a new transform, the Radon transform. The raw picture seen by the detectors is therefore not a skull or a brain, but a Radon image (often called a sinogram), a completely mathematical object.

Theory – Radon Transform
For an attenuation function \(A(x,y)\) in the plane, the Radon transform is \[ \mathcal{R}A(r,\theta) = \int_{D_{r,\theta}} A(x,y)\,ds, \] where \(D_{r,\theta}\) is the line at distance \(r\) from the origin and angle \(\theta\). Each value \(\mathcal{R}A(r,\theta)\) is the total attenuation along a potential X-ray path.

From data to image: (filtered) back-projection

To recover the original object, we need to invert the Radon transform. A first idea is back-projection: for each point in the plane we average all values \(\mathcal{R}A(r,\theta)\) over lines passing through that point. This gives an approximate image, but a blurred one.

Using tools from Fourier analysis we can do better. The method of filtered back-projection applies a suitable frequency filter to the Radon data before back-projecting. This enhances edges and fine details and produces the high-quality images that radiologists actually use.

In short
• CT scanner ⟶ measures line integrals (Radon transform).
• Step 1: compute the transformed data \(\mathcal{R}A\).
• Step 2: apply a frequency filter and perform back-projection (Fourier tools).
• Result: a detailed internal image of the body – quite literally a picture made of mathematics.

For full details, figures and proofs, see the original article (in French):
Romain Bondil, Tomographie et transformée de Radon : des images de maths !, Images des mathématiques, volume 2 (2024), doi: 10.60868/0ppx-0a42.