Κανόνες διαιρετότητας για το 3 και το 11
Ο Μπάμπης βαριέται να κάνει μακρά διαίρεση για να ελέγχει αν ένας αριθμός
διαιρείται με κάποιον άλλο. Μια μέρα παρατηρεί ότι:
Αν πάρουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και αυτό το άθροισμα
είναι διαιρετό με 3, τότε και ο αρχικός αριθμός είναι διαιρετός με 3.
Παράδειγμα: για τον αριθμό 27 έχουμε \(2 + 7 = 9\). Εφόσον το 9 είναι διαιρετό με 3, ο Μπάμπης συμπεραίνει ότι και το 27 είναι διαιρετό με 3.
- Ισχύει αυτό το «κόλπο» για όλους τους θετικούς ακέραιους; Αν ναι, να το αποδείξετε.
- Μπορείτε να βρείτε έναν ανάλογο «κανόνα με ψηφία» για αριθμούς που διαιρούνται με 11; Περιγράψτε τον κανόνα και αποδείξτε ότι ισχύει για όλους τους θετικούς ακέραιους.
1 σχόλιο:
Κριτήριο Διαιρετότητας με το 3
ΑπάντησηΔιαγραφήΕάν το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού (να προσθέσεις όλα τα ψηφία, δηλαδή το άθροισμα των είναι 3, 6 ή 9. Σημείωση: Αν το άθροισμα είναι 10 ή μεγαλύτερο, αθροίζουμε και αυτά τα ψηφία.
Παράδειγμα:
Το 3246 διαιρείται με το 3 επειδή 3 + 2 + 4 + 6 = 15, και 1 + 5 = 6, και το 6 είναι σε εκείνους τους παραπάνω αριθμούς.
(1) Κριτήριο Διαιρετότητας με το 11
Κάνουμε την ίδια διαδικασία με το κριτήριο διαιρετότητας του 7, απλά δεν πολλαπλασιάζουμε το ψηφίο της μονάδας με το 2. Το αφήνουμε όπως είναι.
Παράδειγμα: το 1331 διαιρείται με το 11 επειδή:
133 – 1 = 132
13 – 2 (όπως βλέπετε μπορούμε να ξανακάνουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να βρούμε έναν εύκολο αριθμό = 11
Ένας αριθμός διαιρείται με το 11, αν το άθροισμα των διψήφιων τμημάτων του (από
δεξιά προς τα αριστερά) είναι πολλαπλάσιο του 11.
π.χ. το 264
Έχουμε 64+2=66 είναι
π.χ. το 5379
53+79=132=32+1=33 είναι!
Θα βοηθήσουμε λέγοντας ότι οι αριθμοί 3877357 και 1358024679 διαιρούνται (ακριβώς) με το 11.
Οι κινήσεις που κάνουμε είναι οι εξής:
1. Προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού με μονή σειρά ( 1ο + 3ο + 5ο ......ψηφίο ) και βρίσκουμε το άθροισμα τους.
2. Ακολούθως προσθέτουμε τα ψηφία με άρτια σειρά ( 2ο +4ο +6ο ....ψηφίο ) και βρίσκουμε το άθροισμα τους.
3. Αφαιρούμε το μεγαλύτερο άθροισμα από το μικρότερο.
4. Αν η διαφορά τους είναι 0 ή πολλαπλάσιο του 11 τότε ο αρχικός αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του 11.
Ξεκινούμε από το τελευταίο ψηφίο του αριθμού και αφαιρούμε και προσθέτουμε εναλλάξ τα ψηφία του.
Εξετάζουμε το αποτέλεσμα και αν ο αριθμός αυτός διαιρείται με το 11 , τότε θα διαιρείται και ο αρχικός αριθμός.
(2) Κριτήριο διαιρετότητας με το 11
Για να βρούμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 11 κάνουμε το εξής.
{1}. Προσθέτουμε τα ψηφία του αριθμού με μονή σειρά
(1ο + 3ο + 5ο +7ο ψηφίο ) και βρίσκουμε το άθροισμα τους.
{2}. Ακολούθως προσθέτουμε τα ψηφία με άρτια σειρά
(2ο +4ο +6ο ....ψηφίο ) και βρίσκουμε το άθροισμα τους.
{3}. Αφαιρούμε το μεγαλύτερο άθροισμα από το μικρότερο.
Αν η διαφορά τους είναι 0 ή πολλαπλάσιο του 11 τότε ο αρχικός αριθμός μας είναι πολλαπλάσιο του 11.
π.χ. 3877357/11
({1} [3+7+3+7=20], {2}[8+7+5=20], {3}[20-20=0])
Άρα ο αριθμός 3877357 διαιρείται από το 11.
π.χ. 1358024679
({1} [1+5+0+4+7=17], {2} [3+8+2+6+9=28], {3} [28-17=11])
Άρα ο αριθμός1358024679 διαιρείται από το 11.
Ισχύουν για όλους τους θετικούς ακεραίους.