A Coloring Problem in the Plane – Distance 1 and Three Colors

Χρωματισμός του επιπέδου και απόσταση 1

Τα σημεία του Καρτεσιανού επιπέδου είναι χρωματισμένα με ένα από τα τρία χρώματα: κίτρινο, μπλε ή κόκκινο. Κάθε σημείο φέρει ακριβώς ένα χρώμα.

Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο σημεία του επιπέδου με το ίδιο χρώμα τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 1.

Το πρόβλημα ανήκει στη γεωμετρική συνδυαστική και συνδέεται με ιδέες της θεωρίας Ramsey και της γεωμετρίας του επιπέδου. Δεν ζητάται κατασκευή ή υπολογισμός, αλλά ένα επιχείρημα που δείχνει ότι το φαινόμενο είναι αναπόφευκτο, ανεξάρτητα από τον τρόπο χρωματισμού.

Coloring the Plane and Unit Distance

The points of the Cartesian plane are colored using one of three colors: yellow, blue, or red. Each point is assigned exactly one color.

Prove that there exist two points in the plane of the same color whose distance from each other is exactly 1.

This problem belongs to geometric combinatorics and is closely related to ideas from Ramsey theory and planar geometry. It does not ask for an explicit construction, but for a logical argument showing that such a pair of points must exist, no matter how the coloring is chosen.

Problems of this type illustrate how global geometric constraints emerge even when local choices appear completely unrestricted.