A Functional Equation on the Integers – Characterizing an Involution

Συναρτησιακή εξίσωση στο ℤ

Έστω μια συνάρτηση f : ℤ → ℤ που ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:

(i) f(f(n)) = n για κάθε ακέραιο n.

(ii) f(f(n + 2) + 2) = n για κάθε ακέραιο n.

(iii) f(0) = 1.

Να αποδειχθεί ότι

f(n) = 1 − n για κάθε ακέραιο n.

Το πρόβλημα εξετάζει τη δομή μιας αυτοαντίστροφης συνάρτησης και πώς επιπλέον περιορισμοί καθορίζουν πλήρως τη μορφή της.

A Functional Equation on the Integers

Let f : ℤ → ℤ be a function satisfying the following conditions:

(i) f(f(n)) = n for every integer n.

(ii) f(f(n + 2) + 2) = n for every integer n.

(iii) f(0) = 1.

Show that

f(n) = 1 − n for every integer n.

This problem explores the structure of an involutive function and how additional functional constraints uniquely determine its form.