A Periodic Function Inequality Involving an Integral

Μια ανισότητα για θετικές περιοδικές συναρτήσεις

Έστω f μια θετική και συνεχής συνάρτηση, ορισμένη στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, η οποία ικανοποιεί την περιοδικότητα

f(x + 1) = f(x) για κάθε πραγματικό αριθμό x.

Να αποδειχθεί η ακόλουθη ανισότητα:

$$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x + 1/2)} dx \geq 1$$

Το πρόβλημα αυτό συνδυάζει ανάλυση, περιοδικότητα και συμμετρία.

Η ανισότητα δεν εξαρτάται από τον συγκεκριμένο τύπο της συνάρτησης, αλλά μόνο από τις θεμελιώδεις ιδιότητές της: θετικότητα, συνέχεια και περίοδο ίση με 1.

Τέτοιες ανισότητες εμφανίζονται συχνά στη θεωρία ολοκληρωμάτων, στην ανάλυση Fourier και στη μελέτη μέσων τιμών, αναδεικνύοντας το πώς η μετατόπιση ενός επιχειρήματος επηρεάζει τη συνολική συμπεριφορά μιας συνάρτησης.

An Inequality for Positive Periodic Functions

Let f be a positive and continuous function defined on the real numbers, satisfying the periodicity condition

f(x + 1) = f(x) for every real number x.

Prove the following inequality:

$$\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{f(x + 1/2)} dx \geq 1$$

This problem combines ideas from real analysis, periodic functions, and symmetry. The inequality does not depend on any explicit formula for the function, but only on its core properties: positivity, continuity, and period equal to 1.

Inequalities of this type arise naturally in integral analysis, Fourier theory, and the study of average values, highlighting how a simple shift in the argument of a function can impose strong global constraints.