A Convergence Problem for a Recursive Nonnegative Sequence

Σύγκλιση σειράς από αναδρομικά ορισμένη ακολουθία

Έστω a₁, a₂, a₃, … μια ακολουθία μη αρνητικών πραγματικών αριθμών, η οποία ικανοποιεί για κάθε ακέραιο n ≥ 1 την ανισότητα

$$a_{n+2} \leq \frac{a_{n+1} + a_n}{n+2}$$

Η συνθήκη αυτή συνδέει κάθε όρο της ακολουθίας με τους δύο προηγούμενους, αλλά με έναν συντελεστή που φθίνει καθώς το n αυξάνεται. Η φθίνουσα αυτή επίδραση παίζει καθοριστικό ρόλο στη συνολική συμπεριφορά της ακολουθίας.

Να αποδειχθεί ότι η άπειρη σειρά

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

είναι συγκλίνουσα.

Το πρόβλημα αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα όπου μια σχετικά ήπια αναδρομική ανισότητα αρκεί για να επιβάλει ισχυρό έλεγχο στο άθροισμα ολόκληρης της ακολουθίας, και ανήκει στον πυρήνα της θεωρίας σύγκλισης σειρών με εξαρτημένους όρους.

Convergence of a Series Defined by a Recursive Inequality

Let a₁, a₂, a₃, … be a sequence of nonnegative real numbers satisfying, for every integer n ≥ 1, the inequality

$$a_{n+2} \leq \frac{a_{n+1} + a_n}{n+2}$$

This condition links each term of the sequence to the two preceding ones, with a coefficient that decreases as n grows. Such decay is crucial in controlling the long-term behavior of the sequence.

Show that the infinite series

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$

is convergent.

This problem is a representative example of how a mild recursive inequality can enforce strong convergence properties on an associated series, and it lies at the heart of classical results on series with dependent terms.