A Pigeonhole Principle Problem with Modular Arithmetic – Divisibility by 9

Υποσύνολα και διαιρετότητα: ένα πρόβλημα με το 9

Δίνονται δεκαεπτά ακέραιοι αριθμοί, χωρίς καμία επιπλέον υπόθεση για το μέγεθος ή το πρόσημό τους. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει πάντοτε ένα υποσύνολο αποτελούμενο από εννέα από αυτούς, του οποίου το άθροισμα είναι διαιρετό με το 9.

Το πρόβλημα αυτό ανήκει στη διακριτή μαθηματική ανάλυση και συνδυάζει ιδέες από τη θεωρία αριθμών και τη συνδυαστική. Κεντρικό ρόλο παίζουν τα υπολείμματα modulo 9 και η αναπόφευκτη επανάληψη δομών όταν εξετάζονται πολλά αθροίσματα.

Η διατύπωση είναι χαρακτηριστική προβλημάτων τύπου «αρχής περιστερώνα», όπου η ύπαρξη ενός κατάλληλου υποσυνόλου δεν προκύπτει από κατασκευή, αλλά από καθαρά λογικά επιχειρήματα.

Subsets and Divisibility: A Modulo 9 Problem

Given any seventeen integers, with no assumptions on their size or sign, show that there always exists a subset of nine of them whose sum is divisible by 9.

This problem belongs to discrete mathematics and blends ideas from number theory and combinatorics. A key role is played by residues modulo 9 and the unavoidable repetition of patterns when many different sums are considered.

The statement is a typical example of problems related to the pigeonhole principle, where existence is guaranteed not by explicit construction, but by logical necessity.