An Odd Polynomial Cannot Have Integer Roots

Πολυώνυμα, περιττότητα και ακέραιες ρίζες

Έστω p ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Υποθέτουμε ότι οι τιμές p(0) και p(1) είναι περιττοί αριθμοί. Το ερώτημα είναι αν ένα τέτοιο πολυώνυμο μπορεί να έχει ακέραια ρίζα.

Το πρόβλημα αυτό δεν αφορά υπολογισμό ριζών ούτε γραφικές παραστάσεις. Αντίθετα, βασίζεται αποκλειστικά σε αριθμητικές ιδιότητες, και ειδικότερα στην έννοια της περιττότητας και της αριθμητικής modulo 2.

Το κλειδί βρίσκεται στο γεγονός ότι ένα πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές διατηρεί ισχυρούς περιορισμούς όταν αξιολογείται σε ακέραιες τιμές. Η υπόθεση ότι τόσο στο 0 όσο και στο 1 το αποτέλεσμα είναι περιττό, επιβάλλει μια ασυμβατότητα με την ύπαρξη ακέραιας ρίζας.

Ζητείται να αποδειχθεί ότι, υπό αυτές τις συνθήκες, το πολυώνυμο p δεν μπορεί να μηδενίζεται σε κανέναν ακέραιο αριθμό. Το πρόβλημα αποτελεί χαρακτηριστικό παράδειγμα του πώς απλά επιχειρήματα ισοτιμίας οδηγούν σε ισχυρά συμπεράσματα στη θεωρία πολυωνύμων.

Polynomials, Parity, and Integer Roots

Let p be a polynomial with integer coefficients. Assume that both values p(0) and p(1) are odd. The question is whether such a polynomial can have an integer root.

This problem does not rely on explicit root-finding or graphing. Instead, it is purely arithmetic in nature, resting on parity arguments and modular arithmetic modulo 2.

A polynomial with integer coefficients obeys strict constraints when evaluated at integer points. The assumption that the values at both 0 and 1 are odd creates a contradiction with the possibility of the polynomial vanishing at any integer.

The task is to show that under these conditions, the polynomial p has no integer roots. This problem is a clean illustration of how simple parity considerations can yield strong structural conclusions in algebra.