Angle Between Two Lines Using Direction Ratios – Formula and Explanation

Γωνία μεταξύ δύο ευθειών με λόγους διεύθυνσης

Στην αναλυτική γεωμετρία του χώρου, η γωνία μεταξύ δύο ευθειών μπορεί να υπολογιστεί εύκολα αν είναι γνωστοί οι λόγοι διεύθυνσης τους.

Έστω ότι οι ευθείες έχουν λόγους διεύθυνσης:

\[ (l_1, m_1, n_1) \quad \text{και} \quad (l_2, m_2, n_2) \]

Τότε η γωνία \( \theta \) μεταξύ τους δίνεται από τον τύπο:

\[ \cos \theta = \frac{|\, l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 \,|} {\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}\; \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}} \]

Γεωμετρική ερμηνεία

Ο παραπάνω τύπος προκύπτει άμεσα από τον εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων στο \( \mathbb{R}^3 \).

Αν θεωρήσουμε τα διανύσματα:

\[ \vec{v}_1 = (l_1, m_1, n_1), \quad \vec{v}_2 = (l_2, m_2, n_2) \]

τότε ισχύει:

\[ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = |\vec{v}_1|\,|\vec{v}_2| \cos\theta \]

και επομένως ο τύπος της γωνίας δεν είναι παρά εφαρμογή της διανυσματικής γεωμετρίας.

Σημειώσεις

• Η απόλυτη τιμή εξασφαλίζει ότι η γωνία είναι οξεία.
• Αν το αριθμητή είναι μηδέν, τότε οι ευθείες είναι κάθετες.
• Αν \( \cos\theta = 1 \), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Ο τύπος αυτός χρησιμοποιείται ευρέως στη σχολική γεωμετρία, στην αναλυτική γεωμετρία και στη φυσική.

Angle Between Two Lines Using Direction Ratios

In three-dimensional analytic geometry, the angle between two lines can be computed easily if their direction ratios are known.

Let the direction ratios of the two lines be:

\[ (l_1, m_1, n_1) \quad \text{and} \quad (l_2, m_2, n_2) \]

Then the angle \( \theta \) between the lines is given by:

\[ \cos \theta = \frac{|\, l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 \,|} {\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2}\; \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}} \]

Geometric interpretation

This formula follows directly from the dot product of two vectors in \( \mathbb{R}^3 \).

If we consider the vectors:

\[ \vec{v}_1 = (l_1, m_1, n_1), \quad \vec{v}_2 = (l_2, m_2, n_2) \]

then:

\[ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = |\vec{v}_1|\,|\vec{v}_2| \cos\theta \]

Hence, the angle formula is a direct application of vector geometry.

Remarks

• The absolute value ensures the angle is acute.
• If the numerator is zero, the lines are perpendicular.
• If \( \cos\theta = 1 \), the lines are parallel.

This formula is fundamental in coordinate geometry, vector analysis, and physics.