Deriving Stirling’s Formula from an Integral Representation

Ο τύπος του Stirling

Χρησιμοποιώντας την ολοκληρωτική αναπαράσταση

\( N! = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{N} e^{-x} \, dx \)

(η οποία μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή), να παραχθεί ο τύπος του Stirling,

\( N! \approx N^{N} e^{-N} \sqrt{2\pi N} \).

Επιπλέον, να βρεθεί ο διορθωτικός όρος τάξης \( 1/N \) στην προσέγγιση αυτή (και ο όρος τάξης \( 1/N^{2} \)).

Stirling’s Formula

Using the integral representation

\( N! = \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{N} e^{-x} \, dx \),

(which can be proven by induction), derive Stirling’s formula,

\( N! \approx N^{N} e^{-N} \sqrt{2\pi N} \).

Also, find the order-\(1/N\) correction to this result (and the order-\(1/N^{2}\) correction, if you really want to).