The Birthday Problem and the Probability of Shared Dates

Το πρόβλημα των γενεθλίων

(α) Πόσα άτομα πρέπει να βρίσκονται σε ένα δωμάτιο ώστε η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερη από 1/2 το γεγονός ότι τουλάχιστον δύο από αυτά έχουν την ίδια ημερομηνία γενεθλίων; Με τον όρο «ίδια ημερομηνία» εννοούμε την ίδια ημέρα του έτους· το έτος γέννησης μπορεί να διαφέρει. Να αγνοηθούν τα δίσεκτα έτη.

(β) Υποθέστε ότι υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός N ημερών σε ένα έτος. Πόσα άτομα είναι τώρα απαραίτητα ώστε οι πιθανότητες να ευνοούν την ύπαρξη κοινής ημερομηνίας γενεθλίων;

Ισοδύναμα, αν θεωρήσουμε ένα κανονικό έτος 365 ημερών, πόσα άτομα απαιτούνται ώστε η πιθανότητα να είναι μεγαλύτερη από 1/2 ότι τουλάχιστον δύο από αυτά γεννήθηκαν την ίδια ώρα της ίδιας ημέρας; Ή στο ίδιο λεπτό της ίδιας ώρας και της ίδιας ημέρας;

The Birthday Problem

(a) How many people must be in a room in order for the probability to be greater than 1/2 that at least two of them have the same birthday? By “same birthday,” we mean the same day of the year; the year itself may differ. Ignore leap years.

(b) Assume there is some large number, N, of days in a year. How many people are now necessary for the odds to favor a common birthday?

Equivalently, assuming a normal 365-day year, how many people are required for the probability to be greater than 1/2 that at least two of them were born in the same hour on the same date? Or in the same minute of the same hour on the same date?

Neglect terms in your answer that are of subleading order in N.