Divisibility by 11: The Elegant Alternating Sum Rule (with Examples)

Διαιρετότητα με το 11: το «εναλλάξ άθροισμα» των ψηφίων

Υπάρχουν κριτήρια διαιρετότητας για το 2, 3, 5, 9… αλλά το 11 έχει ένα από τα πιο όμορφα και «αλγεβρικά» κριτήρια!

Και το καλύτερο; Μπορείς να το εφαρμόσεις στο μυαλό, χωρίς διαίρεση.

✅ Κανόνας διαιρετότητας με το 11

Πάρε το άθροισμα των ψηφίων στις μονές θέσεις και αφαίρεσε το άθροισμα των ψηφίων στις ζυγές θέσεις (ή το αντίστροφο — δεν έχει σημασία).

Αν η διαφορά είναι:

• 0 ή
• πολλαπλάσιο του 11 (11, 22, 33, …)

τότε ο αριθμός είναι διαιρετός με το 11.

📌 Παράδειγμα

Έστω ο αριθμός 87 635 064.

Θέσεις (από αριστερά):
Μονές: 8 + 6 + 5 + 6 = 25
Ζυγές: 7 + 3 + 0 + 4 = 14

Διαφορά: 25 − 14 = 11

Εφόσον 11 είναι πολλαπλάσιο του 11, ο αριθμός 87 635 064 είναι διαιρετός με το 11.

🧠 Γιατί δουλεύει αυτό;

Ο λόγος κρύβεται στη δύναμη του 10: 10 ≡ −1 (mod 11). Άρα οι δυνάμεις του 10 εναλλάσσονται: +1, −1, +1, −1… και τελικά προκύπτει ακριβώς αυτό το «εναλλάξ άθροισμα».

Divisibility by 11: the beautiful alternating digit-sum rule

There are classic divisibility tests for 2, 3, 5, 9… but 11 has one of the most elegant and algebraic rules.

Even better: you can apply it mentally, without performing division.

---

✅ The divisibility rule for 11

Add the digits in the odd positions and subtract the sum of the digits in the even positions (or the other way around—it doesn’t matter).

If the difference is:

• 0, or
• a multiple of 11 (11, 22, 33, ...)

then the number is divisible by 11.

📌 Example

Consider the number 87 635 064.

Positions (from left):
Odd positions: 8 + 6 + 5 + 6 = 25
Even positions: 7 + 3 + 0 + 4 = 14

Difference: 25 − 14 = 11

Since 11 is a multiple of 11, the number 87 635 064 is divisible by 11.

🧠 Why does this work?

The key fact is: 10 ≡ −1 (mod 11). So powers of 10 alternate: +1, −1, +1, −1… which naturally creates the alternating digit-sum.