Fibonacci Sequence from Pascal’s Triangle

Πώς εμφανίζεται η Σειρά Φιμπονάτσι στο Τρίγωνο του Πασκάλ;

«Πώς μπορώ να λάβω τη Σειρά Φιμπονάτσι από το Τρίγωνο του Πασκάλ;» Η απάντηση είναι απλή, κομψή και εντυπωσιακή.

Το Τρίγωνο του Πασκάλ είναι ένα από τα πιο παραγωγικά αντικείμενα στα μαθηματικά. Μέσα του κρύβονται ακολουθίες, συμμετρίες και σχέσεις που εμφανίζονται σε εντελώς διαφορετικά πλαίσια. Μία από αυτές είναι η Σειρά Φιμπονάτσι.

Βήμα 1: Σχεδίασε το Τρίγωνο του Πασκάλ

Ξεκίνα με έναν 1 στην κορυφή. Κάθε αριθμός που ακολουθεί είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από πάνω του.

Βήμα 2: Χάραξε διαγώνιες γραμμές

Σχεδίασε διαγώνιες γραμμές που ξεκινούν από την αριστερή πλευρά του τριγώνου, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Βήμα 3: Πρόσθεσε τους αριθμούς κάθε διαγωνίου

Αν προσθέσεις τους αριθμούς σε κάθε διαγώνιο, παίρνεις διαδοχικά:

\[ 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; \ldots \]

Αυτή είναι ακριβώς η Σειρά Φιμπονάτσι.

Γιατί λειτουργεί αυτό;

Δεν πρόκειται για σύμπτωση. Κάθε αριθμός στο Τρίγωνο του Πασκάλ είναι το άθροισμα δύο προηγούμενων αριθμών, και κάθε όρος της Σειράς Φιμπονάτσι είναι επίσης το άθροισμα των δύο προηγούμενων.

Το τρίγωνο «ενσωματώνει» τον κανόνα της ακολουθίας Φιμπονάτσι σε μια γεωμετρική μορφή.

How Does the Fibonacci Sequence Appear in Pascal’s Triangle?

“How can I obtain the Fibonacci sequence from Pascal’s Triangle?” asked Rex. The answer is simple, elegant, and surprising.

Pascal’s Triangle is one of the most productive objects in mathematics. Hidden within it are sequences, symmetries, and relationships that appear in many different contexts. One of them is the Fibonacci sequence.

Diagonals of Pascal’s Triangle generate the Fibonacci sequence.

Step 1: Draw Pascal’s Triangle

Start with a 1 at the top. Each number is obtained by adding the two numbers directly above it.

Step 2: Draw diagonal lines

Draw diagonal lines starting from the left side of the triangle, as shown in the diagram.

Step 3: Add the numbers on each diagonal

When you add the numbers along each diagonal, you obtain:

\[ 1,\; 1,\; 2,\; 3,\; 5,\; 8,\; 13,\; 21,\; \ldots \]

This is exactly the Fibonacci sequence.

Why does this work?

This is no coincidence. Each entry in Pascal’s Triangle is the sum of two entries above it, and each Fibonacci number is the sum of the two preceding ones.

The triangle embeds the Fibonacci rule into a geometric structure.