Semi-Regular Tessellations with Triangles and Squares – Prove the Gap Fits

Ημι-κανονικά ψηφιδωτά με ισόπλευρα τρίγωνα και τετράγωνα

Στο παρακάτω σχήμα εμφανίζεται μια διάταξη από ισόπλευρα τρίγωνα και τετράγωνα. Φαίνεται ότι στην κορυφή μένει ένα «κενό», στο οποίο θα μπορούσε να χωρέσει ακόμη ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Να αποδειχθεί ότι αυτό το τρίγωνο πράγματι εφαρμόζει ακριβώς.

Αν το επίπεδο πλακοστρωθεί με αυτό το μοτίβο, τότε γύρω από κάθε κορυφή ακολουθείται η ίδια κυκλική ακολουθία πολυγώνων.

Μια τυπική αναπαράσταση της «σειράς γύρω από την κορυφή» είναι {3, 4, 3, 3, 4}, που σημαίνει ότι καθώς περιφερόμαστε γύρω από μια κορυφή συναντάμε με τη σειρά τρίγωνο, τετράγωνο, τρίγωνο, τρίγωνο, τετράγωνο.

Να περιγραφεί πώς αλλάζει το ψηφιδωτό όταν αλλάξει η κυκλική σειρά των ίδιων πολυγώνων γύρω από την κορυφή. Δηλαδή, αν παραμείνουν τα ίδια κομμάτια (ισόπλευρα τρίγωνα και τετράγωνα), αλλά η διάταξη γύρω από κάθε κορυφή ακολουθεί διαφορετική κυκλική ακολουθία, ποια νέα μοτίβα μπορούν να προκύψουν και ποια όχι;

Στη συνέχεια, να βρεθούν όλα τα ημι-κανονικά (semi-regular) ψηφιδωτά του επιπέδου, δηλαδή όλες οι πλακοστρώσεις που χρησιμοποιούν κανονικά πολύγωνα και έχουν την ίδια ακριβώς κυκλική ακολουθία πολυγώνων σε κάθε κορυφή.

Τέλος, να δοθεί πλήρης τεκμηρίωση ότι ο κατάλογος είναι πλήρης, δηλαδή ότι δεν υπάρχουν άλλα ημι-κανονικά ψηφιδωτά πέρα από αυτά που βρέθηκαν.

Semi-Regular Tessellations with Equilateral Triangles and Squares

The figure shows an arrangement of equilateral triangles and squares. At the top there appears to be a “gap” where another equilateral triangle might fit. Prove that this triangle must fit exactly.

An arrangement of triangles and squares around a vertex.

If the plane is tiled with this pattern, the same cyclic sequence of polygons appears around every vertex. One way to record the vertex pattern is {3, 4, 3, 3, 4}, meaning that as you go around a vertex you encounter triangle, square, triangle, triangle, square, in that order.

Describe what the tiling would look like if the cyclic order of the same polygons around each vertex were changed. In other words, keeping equilateral triangles and squares as the building blocks, which alternative vertex orders can produce a valid tiling, and which cannot?

Next, find all semi-regular tessellations of the plane, meaning all tilings by regular polygons for which the vertex pattern is identical at every vertex.

Finally, give a complete justification that your list is exhaustive, i.e. that no other semi-regular tessellations exist beyond those you have found.