Το άθροισμα των κύβων: μια οπτική μαθηματική ταυτότητα
Μία από τις πιο εντυπωσιακές ταυτότητες της στοιχειώδους άλγεβρας είναι:
\[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right)^2 \]
δηλαδή:
\[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \cdots + n)^2 \]
Η παραπάνω σχέση δεν είναι απλώς ένας αλγεβρικός τύπος· έχει και μια καθαρή γεωμετρική – οπτική ερμηνεία.
Γεωμετρική ερμηνεία
Κάθε όρος \( i^3 \) παριστάνεται ως ένας κύβος πλευράς \(i\). Στην εικόνα βλέπουμε τους κύβους:
\(1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, \ldots\)
Όταν όλοι αυτοί οι κύβοι αναδιαταχθούν κατάλληλα, σχηματίζουν ένα τετράγωνο του οποίου η πλευρά είναι:
\[ 1 + 2 + 3 + \cdots + n \]
Το εμβαδόν αυτού του τετραγώνου είναι:
\[ \left(1 + 2 + 3 + \cdots + n\right)^2 \]
Άρα, το άθροισμα των όγκων των κύβων ισούται με το εμβαδόν του τετραγώνου.
Κλειστός τύπος
Χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο:
\[ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2} \]
παίρνουμε τελικά:
\[ \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \]
Πρόκειται για ένα εξαιρετικό παράδειγμα όπου η γεωμετρία, η άλγεβρα και η οπτικοποίηση συνεργάζονται αρμονικά.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου