Ο τύπος του Lagrange για το εμβαδόν τριγώνου και τον όγκο τετραέδρου
Το 1775, ο Γάλλος μαθηματικός Ζοζέφ-Λουί Λαγκράνζ (Joseph-Louis Lagrange) παρουσίασε μια εντυπωσιακά συμπαγή μέθοδο για τον υπολογισμό γεωμετρικών μεγεθών απευθείας από τις συντεταγμένες σημείων.
Με τη χρήση μιας και μόνο ορίζουσας, μπορούσε κανείς να υπολογίσει:
- το εμβαδόν ενός τριγώνου στο επίπεδο
- τον όγκο ενός τετραέδρου στον χώρο
Για τρία σημεία \((x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)\) στο επίπεδο, το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζουν δίνεται από:
\[ E = \frac{1}{2!} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} \]
Αντίστοιχα, για τέσσερα σημεία \((x_i,y_i,z_i)\) στον τρισδιάστατο χώρο, ο όγκος του τετραέδρου που σχηματίζουν είναι:
\[ V = \frac{1}{3!} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & z_4 & 1 \end{vmatrix} \]
Οι παραγοντικοί όροι \(2!\) και \(3!\) σχετίζονται άμεσα με τη διάσταση του γεωμετρικού σχήματος, ενώ η ορίζουσα κωδικοποιεί τόσο το μέγεθος όσο και τον προσανατολισμό του.
Η ιδέα του Lagrange ένωσε την Άλγεβρα με τη Γεωμετρία και αποτέλεσε θεμέλιο για τη μετέπειτα ανάπτυξη της Γραμμικής Άλγεβρας, της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Διανυσματικής Ανάλυσης.
Σήμερα, οι τύποι αυτοί χρησιμοποιούνται ευρέως σε μαθηματικά, φυσική, μηχανική, υπολογιστική γεωμετρία και γραφικά υπολογιστών.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου