EisatoponAI: Εσωτερικές Γωνίες Πολυγώνου | Τύπος (n-2)·180° και Απόδειξη

Ένα από τα βασικά θεωρήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας αφορά το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου. Το αποτέλεσμα είναι απλό αλλά εξαιρετικά θεμελιώδες.

Ο γενικός τύπος

Αν ένα πολύγωνο έχει \( n \) πλευρές, τότε το άθροισμα των εσωτερικών του γωνιών είναι:

\[ S = (n - 2)\cdot 180^\circ \]

Ο τύπος αυτός ισχύει για κάθε κυρτό πολύγωνο.

Απόδειξη

Από μία κορυφή ενός πολυγώνου μπορούμε να χαράξουμε διαγώνιες προς όλες τις μη γειτονικές κορυφές.

Έτσι, το πολύγωνο χωρίζεται σε:

\[ n - 2 \]

τρίγωνα.

Κάθε τρίγωνο έχει άθροισμα γωνιών:

\[ 180^\circ \]

Άρα το συνολικό άθροισμα είναι:

\[ (n - 2)\cdot 180^\circ \]

Παραδείγματα

Τρίγωνο (\(n=3\)): \( (3-2)\cdot 180^\circ = 180^\circ \)
Τετράπλευρο (\(n=4\)): \( 360^\circ \)
Πεντάγωνο (\(n=5\)): \( 540^\circ \)
Εξάγωνο (\(n=6\)): \( 720^\circ \)

Κανονικό Πολύγωνο

Αν το πολύγωνο είναι κανονικό, τότε κάθε εσωτερική γωνία ισούται με:

\[ \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} \]

Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα

Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κάθε κυρτού πολυγώνου είναι:

\[ 360^\circ \]

ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών του.

Η γεωμετρία των πολυγώνων βασίζεται τελικά στη θεμελιώδη ιδιότητα του τριγώνου. Κάθε πολύγωνο μπορεί να αναλυθεί σε τρίγωνα — και εκεί κρύβεται η κομψότητα του τύπου.

🧠