Είναι αλήθεια ότι κάθε ακέραιος αριθμός έχει τουλάχιστον τόσους θετικούς διαιρέτες της μορφής 4k + 1 όσους και της μορφής 4k - 1;
Η απάντηση είναι ότι όχι, δεν ισχύει πάντα: δεν έχει κάθε ακέραιος αριθμός τουλάχιστον τόσους θετικούς διαιρέτες της μορφής 4k+1 όσους και της μορφής 4k−1.
Αλλά ας το εξετάσουμε πιο προσεκτικά.
🔍 Διευκρίνιση:
Οι θετικοί διαιρέτες ενός αριθμού (π.χ. του n) είναι οι θετικοί ακέραιοι που τον διαιρούν. Αυτοί μπορεί να είναι της μορφής:
- 4k+1, δηλαδή 1, 5, 9, 13, 17, ...
- 4k−1, δηλαδή 3, 7, 11, 15, 19, ...
Η ερώτηση συγκρίνει το πλήθος αυτών των δύο ειδών διαιρετών για κάθε θετικό ακέραιο.
🧠 Αντιπαράδειγμα:
Πάρε τον αριθμό 15. Οι θετικοί του διαιρέτες είναι:
1,3,5,151, 3, 5, 15
Αν τους ταξινομήσουμε:
- Μορφή 4k+1: 1, 5 → 2 διαιρέτες
- Μορφή 4k−1: 3, 15 → 2 διαιρέτες
Ίσο πλήθος.
Τι γίνεται όμως με το 21; Διαιρέτες: 1,3,7,211, 3, 7, 21
- 4k+1: 1, 21 → 2
- 4k−1: 3, 7 → 2
Άρα πάλι ισότητα.
Όμως πάρε το 45: Διαιρέτες: 1, 3, 5, 9, 15, 45
- Μορφή 4k+1: 1, 5, 9, 45 → 4
- Μορφή 4k−1: 3, 15 → 2
Περισσότεροι διαιρέτες της μορφής 4k+1.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου