Όλες οι Τριγωνομετρικές Ταυτότητες σε Έναν Οδηγό

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες είναι εξισώσεις που συνδέουν μεταξύ τους τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις και ισχύουν για όλες τις τιμές των γωνιών στις οποίες ορίζονται.

Στη μελέτη της τριγωνομετρίας, αποτελούν θεμέλιο για:

• απλοποίηση εκφράσεων,
• επίλυση εξισώσεων,
• γεωμετρικούς υπολογισμούς,
• φυσική, μηχανική και επιστήμη υπολογιστών.

1. Πυθαγόρειες Ταυτότητες

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$$$1 + \cot^2 x = \csc^2 x$$$$\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$$

Παράδειγμα:
Για $x = 30^\circ$, έχουμε:

$${\sin }^2{30}^{\circ }+{\cos }^2{30}^{\circ }={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=1$$

---

2. Ταυτότητες Πρόσθεσης Γωνιών

$$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$$$\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$$$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$$

---

3. Ταυτότητες Διπλής Γωνίας

$$\sin (2x)=2\sin x\cos x$$$$\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$$$$\tan (2x)=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^2\mathrm{x}}$$

---

4. Ταυτότητες Μισής Γωνίας

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}$$$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}$$$$\tan \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin \mathrm{x}}$$

---

5. Γινόμενο-σε-Άθροισμα

$$\sin x\sin y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)-\cos (x+y)]$$$$\sin x\cos y=\frac{1}{2}[\sin (x-y)+\sin (x+y)]$$$$\cos x\cos y=\frac{1}{2}[\cos (x-y)+\cos (x+y)]$$

---

6. Άθροισμα-σε-Γινόμενο

$$\sin x+\sin y=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$$$$\cos x+\cos y=2\cos \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$$

---

7. Ταυτότητες Τριπλής Γωνίας

$$\sin (3x)=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$$$\cos (3x)=4{\cos }^{3}x-3\cos x$$

---

8. Άρτιες & Περιττές Συναρτήσεις

• $\sin(-x) = -\sin x$
  

• $\cos(-x) = \cos x$
  

• $\tan(-x) = -\tan x$
  

---

9. Ταυτότητα του Euler

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

Μία από τις πιο όμορφες εξισώσεις στα μαθηματικά, που συνδέει τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τους μιγαδικούς αριθμούς.

---

Συμπέρασμα

Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες αποτελούν βασικό εργαλείο στα μαθηματικά, με τεράστιες εφαρμογές στη γεωμετρία, τη φυσική, τη μηχανική, την ανάλυση σημάτων και τους υπολογισμούς.