🎄 Το «Χριστουγεννιάτικο Θεώρημα» του Fermat: Όταν τα Μαθηματικά Συναντούν τα Χριστούγεννα

Γνωρίζατε ότι ένα από τα πιο κομψά και ιστορικά σημαντικά θεωρήματα της Αριθμοθεωρίας συνδέεται άμεσα με τα Χριστούγεννα; Είναι το γνωστό «Χριστουγεννιάτικο Θεώρημα» του Pierre de Fermat.

Η Ιστορία Πίσω από το Όνομα
Ο Φερμά συνήθιζε να ανακοινώνει τις ανακαλύψεις του μέσα από επιστολές. Την παραμονή των Χριστουγέννων του 1640, έγραψε στον Marin Mersenne μια επιστολή όπου διατύπωνε το συγκεκριμένο θεώρημα. Έτσι προέκυψε η ονομασία του.

Το Περιεχόμενο του Θεωρήματος
Το θεώρημα απαντά στο ερώτημα:

Πότε ένας πρώτος αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων;

Η διατύπωση του Φερμά:
Ένας περιττός πρώτος αριθμός $p$ μπορεί να εκφραστεί ως

$$p = x^2 + y^2$$

μόνο όταν

$$p \equiv 1 \pmod{4}.$$

Δηλαδή:
Ένας πρώτος αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων αν και μόνο αν αφήνει υπόλοιπο 1 στη διαίρεση με το 4.

Παραδείγματα

Πρώτοι με υπόλοιπο 1 mod 4:

$$5 = 1^2 + 2^2,\quad 13 = 2^2 + 3^2,\quad 17 = 1^2 + 4^2,\quad 29 = 2^2 + 5^2$$

Πρώτοι με υπόλοιπο 3 mod 4:

$$3, 7, 11, 19 \quad \text{(κανένας δεν εκφράζεται ως } x^2 + y^2)$$

Η Σημασία του Θεωρήματος
Το θεώρημα αποτελεί θεμέλιο στην Αριθμοθεωρία και επηρέασε σε βάθος τη μελέτη των παραστάσεων αριθμών ως αθροισμάτων τετραγώνων, ιδιαίτερα στη Διωφαντική Ανάλυση.

Η Απόδειξη
Ο Φερμά ισχυρίστηκε ότι είχε απόδειξη, αλλά δεν την δημοσίευσε. Η πρώτη τεκμηριωμένη απόδειξη αποδόθηκε αργότερα στον Leonhard Euler.

Συμπέρασμα
Το «Χριστουγεννιάτικο Θεώρημα» δείχνει πώς μια απλή αριθμητική συνθήκη μπορεί να εκφράζει μια βαθιά ιδιότητα των πρώτων αριθμών. Ένα διαχρονικό δείγμα της κομψότητας των Μαθηματικών.