10 Circles in a Square: Find r in Terms of t (Circle Packing Puzzle)

10 κύκλοι σε τετράγωνο: βρες το r ως συνάρτηση του t

Μέσα σε ένα τετράγωνο τοποθετούνται 10 κύκλοι ως εξής:

• 2 μεγάλοι ίσοι κύκλοι ακτίνας R, που τέμνονται (όπως στο πράσινο σχήμα).
• 6 ίσοι μικροί κύκλοι ακτίνας r, όλοι τοποθετημένοι μέσα στους δύο μεγάλους (όπως στο πορτοκαλί).
• 2 ακόμη κύκλοι ακτίνας t, οι οποίοι εφάπτονται στο τετράγωνο και επίσης εφάπτονται στους μεγάλους κύκλους.

Ζητούμενο: Να βρεθεί τύπος που να δίνει την ακτίνα r των 6 μικρών κύκλων σε όρους της ακτίνας t.

10 circles in a square: find r in terms of t

Inside a square, we place 10 circles as follows:

• Two equal large circles of radius R, which overlap/intersect (shown in green).
• Six equal smaller circles of radius r, packed inside the two large circles (shown in orange).
• Two additional circles of radius t, each tangent to the square and also tangent to the large circles.

Goal: Find a formula for the radius r of the six small circles in terms of the given radius t.