A Difficult Recurrence from a Circle-Packing Geometry Problem

Σε ένα γεωμετρικό σχήμα εφαπτόμενων κύκλων (circle packing), προκύπτει μια κατακόρυφη «στοίβα» από κύκλους που εφάπτονται διαδοχικά. Αν συμβολίσουμε με R(n) την ακτίνα του n-οστού κύκλου της στοίβας (με n=1 τον πρώτο/μεγαλύτερο κύκλο της στοίβας), τότε από ένα επιχείρημα με Πυθαγόρειο θεώρημα καταλήγουμε σε μια ενδιαφέρουσα αναδρομή.

Ζητούμενο: Να βρεθεί (αν είναι δυνατόν) κλειστός τύπος για το R(n).

A difficult recurrence from circle-packing geometry

In a geometric circle-packing configuration, a vertical “stack” of tangent circles appears. Let R(n) be the radius of the nth circle in that stack (with n=1 the first/largest circle in the stack). Using a right-triangle setup and the Pythagorean theorem, one arrives at a striking recurrence.

Task: Find (if possible) a closed form for R(n).

Recurrence:

R(1) = 1/4
R(n) = ((1 - 2 * Σ_k=1..n-1 R(k))²) / (4 * (1 - Σ_k=1..n-1 R(k))),   for n ≥ 2