Concentric Circle Ring Puzzle with Tangent Unit Circles

 

🟢 Γεωμετρικό Δαχτυλίδι Κύκλων

Ο κύκλος A έχει ακτίνα r και κέντρο C. Γύρω από τον κύκλο A τοποθετούνται n ίδιοι κύκλοι ακτίνας 1, έτσι ώστε:

• κάθε κύκλος ακτίνας 1 να εφάπτεται στους δύο γειτονικούς του, και
• κάθε κύκλος ακτίνας 1 να εφάπτεται μία φορά στον κύκλο A.

Ο κύκλος B έχει επίσης κέντρο το C και ακτίνα τέτοια ώστε να εφάπτεται σε όλους τους κύκλους ακτίνας 1 ακριβώς μία φορά.

i) Βρείτε μια εξίσωση που να συνδέει την ακτίνα r του κύκλου A με τον αριθμό n των κύκλων ακτίνας 1. Γράψτε την εξίσωση με θέμα το r.

Σημείωση: το σχήμα στο άρθρο είναι μόνο ένα παράδειγμα· ο αριθμός n μπορεί να αυξάνεται.

---

Τώρα θεωρούμε ότι ο κύκλος B έχει ακτίνα R = r + 2 (άρα είναι εξωτερικός ομόκεντρος κύκλος που εφάπτεται σε όλους τους κύκλους ακτίνας 1). Οι n μικροί κύκλοι (ακτίνας 1) είναι σκιασμένοι, ενώ οι κύκλοι A (ακτίνα r) και B (ακτίνα R) παραμένουν ασκίαστοι.

Το κλάσμα F του εμβαδού του κύκλου B που καλύπτεται από τους σκιασμένους κύκλους δίνεται από:

\( F = 2412 - 984\sqrt{6} - 1392\sqrt{3} + 1704\sqrt{2} \).

ii) Χρησιμοποιώντας μια επανάληπτική (iterative) μέθοδο της επιλογής σας (π.χ. μέθοδο διχοτόμησης, Newton–Raphson ή αριθμητική δοκιμή), να εκτιμήσετε την τιμή της ακτίνας r του κύκλου A που ικανοποιεί τη σχέση αυτή.

🟢 A Ring of Tangent Circles

Circle A has radius r and centre C. Around circle A there are n congruent circles of radius 1, arranged so that:

• each circle of radius 1 touches its two neighbours, and
• each circle of radius 1 touches circle A exactly once.

Circle B is also centred at C, with radius chosen so that it touches each of the radius-1 circles exactly once.

i) Find an equation linking the radius r of circle A and the number n of unit circles. Express your result with r as the subject.

Note: the diagram shown is just one example; the number n of circles can increase.

---

Now suppose that circle B has radius R = r + 2, so that it is a concentric outer circle tangent to all the unit circles. All n small circles of radius 1 are shaded, while circles A (radius r) and B (radius R) remain unshaded.

The fraction F of the area of circle B that is covered by the shaded circles is given by

\( F = 2412 - 984\sqrt{6} - 1392\sqrt{3} + 1704\sqrt{2} \).

ii) Using an iterative numerical method of your choice (e.g. bisection, Newton–Raphson, or a systematic trial-and-refine procedure), estimate the radius r of circle A which satisfies this condition.