Iterated products of consecutive integers and trailing zeros

Διαδοχικά γινόμενα διαδοχικών ακεραίων

Ξεκινάμε από την ακολουθία των ακεραίων από το 1 έως και 8, σε αύξουσα σειρά.

Κατασκευάζουμε μια νέα ακολουθία παίρνοντας το γινόμενο κάθε δύο διαδοχικών όρων της προηγούμενης.

Για παράδειγμα, στη δημιουργία της δεύτερης ακολουθίας, το σύνολο \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) μετατρέπεται σε \(\{2,6,12,20,30,42,56\}\).

Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία (πάντα γινόμενα διαδοχικών όρων) μέχρι η ακολουθία να αποτελείται από έναν μόνο ακέραιο.

Ερωτήματα

1. Πόσα μηδενικά στο τέλος (trailing zeros) έχει ο τελικός ακέραιος στον δεκαδικό συμβολισμό;
2. Μπορείτε να βρείτε μια κλειστή μαθηματική έκφραση για την τιμή του τελικού αριθμού;

Iterated products of consecutive integers

Start with the ordered sequence of integers from 1 to 8 inclusive.

A new sequence is formed by taking the product of each pair of consecutive integers in the current sequence.

For example, in forming the second sequence, \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) becomes \(\{2,6,12,20,30,42,56\}\).

This process is repeated (always multiplying consecutive terms) until there is only a single integer left.

Questions

1. How many trailing zeros does this final integer have in base 10?
2. Can you find a closed mathematical expression for the value of this final number?