Θεωρία Αριθμών – Παιχνίδι με αναστροφή ψηφίων
Ο Πέτρος σκέφτηκε έναν θετικό ακέραιο. Πρόσθεσε σε αυτόν τον αριθμό που προκύπτει αν γράψουμε τα ίδια ψηφία σε αντίστροφη σειρά. (Για παράδειγμα, ξεκινώντας από το \(26\) πρόσθεσε το \(62\), ή ξεκινώντας από το \(530\) πρόσθεσε το \(35\).) Πήρε έναν τριψήφιο αριθμό που περιείχε μόνο ψηφία \(6\) και/ή \(9\). Ποιοι αριθμοί θα μπορούσαν να ήταν ο αρχικός αριθμός του Πέτρου;
2 σχόλια:
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι δυνατοί αρχικοί αριθμοί του Πέτρου είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφή135, 138, 234, 237, 333, 336, 432, 435, 531, 534, 630, 633, 732, 831, 930
Συνολικά: 15 αριθμοί.
Θέλουμε έναν θετικό ακέραιο n τέτοιο ώστε:
n+αντίστροφος(n)
να είναι τριψήφιος και να περιέχει μόνο τα ψηφία 6 και/ή 9.
Οι μόνοι δυνατοί τέτοιοι τριψήφιοι αριθμοί είναι:
666, 669, 696, 699, 966, 969, 996 και 999.
Ο έλεγχος δείχνει ότι λύσεις υπάρχουν μόνο για τα αθροίσματα 666 και 969.
1. Άθροισμα 666
O αρχικό αριθμό n είναι της μορφής (100a+10b+c) (1)
Ο αντίστροφος n είναι της μορφής (100c+10b+a) (2)
Προσθέτουμε τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
100a+10b+c+100c+10b+a=101a+101c+20b=101(a+c)+20b=666 (3)
Παρατηρήσεις:
• Το 101(a+c) είναι πολλαπλάσιο του 101
• Το 20b είναι πολλαπλάσιο του 20
• Το 666 − 20b πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 101
Δοκιμάζουμε: b=0,1,2,…,9
Αφαιρώντας συνεχώς 20 μονάδες από τον 666, βλέπουμε ότι ο μόνος αριθμός που διαιρείται από το 101 είναι ο 606:
666-(20+20+20)=666-60=606:11=6
Αυτό δίνει:
• a+c=6
• b=3
Ψάχνουμε όλα τα δυνατά ζευγάρια ψηφίων a,c που:
• έχουν άθροισμα 6.
• ικανοποιούν τις συνθήκες: 1≤a≤9.
Περίπτωση Α: a+c=6
Πιθανά ζευγάρια:
(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,0)
Όλοι είναι έγκυροι (το a≠0).
Οι αριθμοί είναι:
135, 234, 333, 432, 531, 630
(π.χ. 135+531=666)
2. Άθροισμα 969
O αρχικό αριθμό n είναι της μορφής (100a+10b+c) (1)
Ο αντίστροφος n είναι της μορφής (100c+10b+a) (2)
Προσθέτουμε τις (1) και (2) κι’ έχουμε:
100a+10b+c+100c+10b+a=101a+101c+20b=101(a+c)+20b=969 (4)
Παρατηρήσεις:
• Το 101(a+c) είναι πολλαπλάσιο του 101
• Το 20b είναι πολλαπλάσιο του 20
• Το 969 − 20b πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 101
Δοκιμάζουμε: b=0,1,2,…,9
Αφαιρώντας συνεχώς 20 μονάδες από τον 969, βλέπουμε ότι ο μόνος αριθμός που διαιρείται από το 101 είναι ο 909:
969-(20+20+20)=969-60=909:11=9
Αυτό δίνει:
• a+c=9
• b=3
Ψάχνουμε όλα τα δυνατά ζευγάρια ψηφίων a,c που:
• έχουν άθροισμα 6.
• ικανοποιούν τη συνθήκη 0≤c≤9.
Περίπτωση Β: a+c=9
Πιθανά ζευγάρια:
(1,8), (2,7), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (7,2), (8,1), (9,0)
Όλοι είναι έγκυροι (το a≠0).
138, 237, 336, 435, 534, 633, 732, 831 και 930
(π.χ. 138+831=969)