Κύκλοι σε Ισόπλευρο Τρίγωνο: Ένα Κλασικό Πρόβλημα Γεωμετρίας με Εφαπτόμενους Κύκλους

 

Η γεωμετρία των κύκλων που εφάπτονται μεταξύ τους και σε πλευρές πολυγώνων αποτελεί ένα από τα πιο κομψά και διαχρονικά θέματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το ακόλουθο πρόβλημα, το οποίο εμφανίστηκε σε μαθηματικό διαγωνισμό υψηλού επιπέδου και συνδυάζει συμμετρία, αναλογίες και γεωμετρική σκέψη.

Θεωρούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, στο εσωτερικό του οποίου έχει τοποθετηθεί ένας μεγάλος κύκλος, ο οποίος εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ο κύκλος αυτός είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του ισόπλευρου τριγώνου και, λόγω συμμετρίας, το κέντρο του συμπίπτει με το κέντρο βάρους, το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και το ορθόκεντρο του τριγώνου.

Στη συνέχεια, τοποθετούνται τρεις μικρότεροι κύκλοι, ένας κοντά σε κάθε κορυφή του τριγώνου. Κάθε μικρός κύκλος εφάπτεται αφενός στον μεγάλο κύκλο και αφετέρου στις δύο πλευρές του τριγώνου που συναντώνται στη συγκεκριμένη κορυφή. Η διάταξη αυτή δεν είναι τυχαία· η συμμετρία του ισόπλευρου τριγώνου επιβάλλει όλοι οι μικροί κύκλοι να έχουν ίση ακτίνα.

Το βασικό ερώτημα του προβλήματος είναι το εξής:
Ποιος είναι ο λόγος του εμβαδού ενός μικρού κύκλου προς το εμβαδόν του μεγάλου κύκλου;