EisatoponAI: Αριθμοί Perrin – Μια παράξενη αναδρομική ακολουθία με μαθηματικό ενδιαφέρον

Αριθμοί Perrin: μια αναδρομική ακολουθία που δεν μοιάζει με καμία άλλη

Στον κόσμο των μαθηματικών ακολουθιών, υπάρχουν ορισμένες που είναι ευρέως γνωστές, όπως οι αριθμοί Fibonacci. Υπάρχουν όμως και άλλες, λιγότερο διάσημες, οι οποίες παρουσιάζουν εξίσου ενδιαφέρουσες δομές. Μία από αυτές είναι η ακολουθία Perrin.

Ορισμός της ακολουθίας Perrin

Η ακολουθία Perrin ορίζεται αναδρομικά με τα αρχικά δεδομένα:

\[ P(0)=3,\quad P(1)=0,\quad P(2)=2 \]

και για κάθε ακέραιο \(n \ge 3\) ισχύει:

\[ P(n)=P(n-2)+P(n-3). \]

Δηλαδή, κάθε όρος προκύπτει ως άθροισμα του όρου δύο θέσεις πριν και του όρου τρεις θέσεις πριν.

Οπτική απεικόνιση της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς των τιμών: τα σημεία ακολουθούν καμπύλη τύπου 1/n, υποδηλώνοντας βαθύτερη αριθμητική δομή.

Οι πρώτοι όροι της ακολουθίας

Με βάση τον ορισμό, οι πρώτοι όροι της ακολουθίας Perrin είναι:

\[ 3,\;0,\;2,\;3,\;2,\;5,\;5,\;7,\;10,\;12,\;17,\;22,\;29,\;39,\;51,\dots \]

Η αύξηση της ακολουθίας δεν είναι γραμμική ούτε απλή, ενώ το μοτίβο της γίνεται εμφανές μόνο αν μελετηθεί η αναδρομική σχέση.

Πίνακας υπολοίπων (mod): η επαναληπτική δομή αποκαλύπτει ότι η ακολουθία δεν είναι τυχαία, αλλά ακολουθεί συγκεκριμένα αριθμητικά μοτίβα.

Γιατί η ακολουθία Perrin είναι ενδιαφέρουσα;

Σε αντίθεση με τις πιο γνωστές ακολουθίες, όπως οι Fibonacci, η Perrin δεν βασίζεται στον αμέσως προηγούμενο όρο. Αυτό την καθιστά ιδανικό παράδειγμα για:

μελέτη αναδρομικών σχέσεων,
παραδείγματα σε διακριτά μαθηματικά,
διερεύνηση αριθμητικών ιδιοτήτων και δομών.

Η ακολουθία εμφανίζεται συχνά σε συλλογές μαθηματικών ακολουθιών και αποτελεί καλό πεδίο άσκησης για όποιον θέλει να κατανοήσει βαθύτερα τη λογική των αναδρομών.

Μια μαθηματική παρατήρηση

Η σχέση

\[ P(n)=P(n-2)+P(n-3) \]

δείχνει ότι το «παρελθόν» της ακολουθίας εκτείνεται σε μεγαλύτερο βάθος από μία μόνο προηγούμενη τιμή. Αυτό δημιουργεί πιο σύνθετη δυναμική και λιγότερο προβλέψιμη συμπεριφορά, κάτι που κάνει την Perrin ιδιαίτερα ελκυστική για μαθηματική διερεύνηση.

📌 Αν σου αρέσουν τέτοιες λιγότερο γνωστές αλλά κομψές μαθηματικές ακολουθίες, βρίσκεσαι ακριβώς στο σωστό μέρος.

🧠